Ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας και η χελώνα

   Ο Ζήνωνας ο Ελεάτης,τον 5^ο π.Χ αιώνα, προκάλεσε αμηχανία στους σοφούς της εποχής του με τον ακόλουθο ισχυρισμό: Ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας, παρά την μεγάλη του προσπάθεια, δεν μπορεί να ποτέ να φτάσει μια χελώνα που τρέχει 100 φορές αργότερα από αυτόν σε αγώνα δρόμου. Πως γίνεται αυτό; Ο Αχιλλέας όντας πολύ σίγουρος για την ταχύτητα έδωσε στην χελώνα προβάδισμα dο=1 στάδιο (περίπου 150 μέτρα).

 Όταν ο Αχιλλέας θα φτάσει στην αρχική του θέση P1 της χελώνας, η χελώνα θα βρίσκεται  λίγο μακρύτερα, στην θέση P2,όταν ο Αχιλλέας θα φτάσει στο P2,η χελώνα θα βρίσκεται  λίγο μακρύτερα στο P2, κ.ο.κ. Δηλαδή η χελώνα θα έχει πάντα ένα προβάδισμα dν(ν=0,1,2,3,..)

 Πως εξηγείται η αντίφαση ανάμεσα στον παραπάνω ισχυρισμό και την εμπειρία που λέει ότι κάποια στιγμή ο Αχιλλέας θα φτάσει την χελώνα;

  Όταν ο Αχιλλέας θα διανύσει το διάστημα dν , η χελώνα αφού τρέχει 100 φορές πιο αργά, θα διανύσει διάστημα d_ν-1=1/100d_ν .Επομένως τα διαστήματα αυτά που προηγείται η

χελώνα σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ=1/100  και do=1στάδιο. Τώρα επειδή      -1<λ<1  το συνολικό διάστημα που θα διανύσει ο Αχιλλέας μέχρι να φτάσει στην χελώνα είναι:  S=d_o/(1-λ)=1/(1-1/100)=100/99 στάδια

περίπου 151 μέτρα. Εγώ πάντως να ξέρετε ότι τάσσομαι στο πλευρό της χελώνας!

                                                     Αχίλλειοι αριθμοί

 Αχίλλειος αριθμός ονομάζεται ένας θετικός ακέραιος αριθμός που είναι ισχυρός και ταυτόχρονα δεν είναι  δύναμη ενός θετικού ακεραίου (τέλεια δύναμη). Ένας αριθμός λέγεται ισχυρός (powerful) αν για κάθε πρώτο διαιρέτη του p τότε και ο p² είναι διαιρέτης του.

 Οι αριθμοί αυτοί ονομαστήκαν Αχίλλειοι διότι ενώ είναι ισχυροί  είναι ατελείς. Για παράδειγμα, ο 108,ενώ δεν αποτελεί δύναμη θετικού ακεραίου ισχύει: 108=2²·3³

Οι Αχίλλειοι αριθμοί μέχρι το 5000 είναι:

72,108,200,288,392,432,500,648,675,800,864,968,972,1125,1152,1323,1352,1372,1568,1800,1944,2000,2312,2592,2700,2888,3087, 3200,3267,3456,3528,3872,3888,4000,4232,4500,4563,4608,5000

(ακολουθία A052486 στον απόλυτο εγκυκλοπαιδικό ιστότοπο ακολουθιών OEIS).

Το μικρότερο ζεύγος διαδοχικών  αχίλλειων αριθμών  είναι:

                               5425069447 = 7³ × 41² × 97² , 5425069448 = 2³ × 26041²

http://mathworld.wolfram.com/AchillesNumber.html