Μια Λύση Σε κάθε μια από τις 20 γραμμές έχουμε συνολικά 19 τμήματα άρα 19Χ20=380 οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα .Όμοια συμπεραίνουμε ότι έχουμε τον ίδιο αριθμό καθέτων τμημάτων άρα συνολικά στο σχήμα έχουμε 2x380 =760 ευθύγραμμα τμήματα. Εφόσον από αυτά τα 237 τμήματα είναι μαύρα τότε 760-237=523 τμήματα είναι είτε κόκκινα είτε μπλε. Έστω Κ ο αριθμός των κόκκινων τμημάτων και ας σκεφτούμε πόσες φορές μια κόκκινη τελεία είναι το άκρο ενός τμήματος. Κάθε μαύρο τμήμα έχει μια κόκκινη τελεία ως άκρο , κάθε κόκκινο τμήμα έχει και τα δυο άκρα του κόκκινα, συνολικά δηλαδή 237+2Κ (1) κόκκινες τελείες ως άκρα. Αλλά γνωρίζουμε ότι καθεμία από τις 39 κόκκινες τελείες που βρίσκονται στα σύνορα του πίνακα αποτελούν τα άκρα 3 τμημάτων και καθεμία από τις εναπομείναντες 219-39=180 κόκκινες τελείες στο εσωτερικό του πίνακα αποτελούν άκρο 4 τμημάτων. Άρα ο συνολικός αριθμός των περιπτώσεων που μια κόκκινη τελεία είναι άκρο ευθύγραμμου τμήματος είναι : 39x3 + 180x4 = 837 Όμως από την σχέση (1) 237+2Κ=837 άρα Κ=300. Αν έχουμε 300 ευθύγραμμα τμήματα κόκκινου χρώματος τότε έχουμε 523-300=223 μπλε τμήματα . American Mathematical Monthly 1972
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια Λύση
Σε κάθε μια από τις 20 γραμμές έχουμε συνολικά 19 τμήματα άρα 19Χ20=380 οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα .Όμοια συμπεραίνουμε ότι έχουμε τον ίδιο αριθμό καθέτων τμημάτων άρα συνολικά στο σχήμα έχουμε 2x380 =760 ευθύγραμμα τμήματα. Εφόσον από αυτά τα 237 τμήματα είναι μαύρα τότε 760-237=523 τμήματα είναι είτε κόκκινα είτε μπλε.
Έστω Κ ο αριθμός των κόκκινων τμημάτων και ας σκεφτούμε πόσες φορές μια κόκκινη τελεία είναι το άκρο ενός τμήματος. Κάθε μαύρο τμήμα έχει μια κόκκινη τελεία ως άκρο , κάθε κόκκινο τμήμα έχει και τα δυο άκρα του κόκκινα, συνολικά δηλαδή 237+2Κ (1) κόκκινες τελείες ως άκρα.
Αλλά γνωρίζουμε ότι καθεμία από τις 39 κόκκινες τελείες που βρίσκονται στα σύνορα του πίνακα αποτελούν τα άκρα 3 τμημάτων και καθεμία από τις εναπομείναντες 219-39=180 κόκκινες τελείες στο εσωτερικό του πίνακα αποτελούν άκρο 4 τμημάτων. Άρα ο συνολικός αριθμός των περιπτώσεων που μια κόκκινη τελεία είναι άκρο ευθύγραμμου τμήματος είναι :
39x3 + 180x4 = 837
Όμως από την σχέση (1) 237+2Κ=837 άρα Κ=300.
Αν έχουμε 300 ευθύγραμμα τμήματα κόκκινου χρώματος τότε έχουμε 523-300=223 μπλε τμήματα .
American Mathematical Monthly 1972