Μαθη...μαγικά : Το παράδοξο των ακτογραμμών

Δευτέρα 8 Ιουλίου 2019

Το παράδοξο των ακτογραμμών

"Παραθαλάσσια οικόπεδα με εξαιρετική θέα,πάνω στο κύμα,τιμή ευκαιρίας:1240 ευρω/ m^1,22"

Πόσο μεγάλη είναι η ακτογραμμή της Αυστραλίας;Εκτιμάται ότι είναι περίπου 12.500 χιλιόμετρα.Ωστόσο, το παγκόσμιο βιβλίο δεδομένων της Κεντρικής αμερικάνικης υπηρεσίας Πληροφοριών (CIA World Factbook: https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/) ισχυρίζεται ότι ο αριθμός είναι υπερδιπλάσιος, πάνω από 25.700 χιλιόμετρα.Πώς μπορεί να υπάρχουν τόσο διαφορετικές εκτιμήσεις για το ίδιο μήκος των ακτών;

Η αντίφαση που φαίνεται να προκύπτει είναι γνωστή ως το παράδοξο των ακτογραμμών.

Να το δούμε λοιπόν. Αν επιχειρούσε κανείς να μετρήσει την ακτογραμμή ή τα σύνορα δυο κρατών, η τιμή της μέτρησης θα εξαρτάται από το μήκος της ράβδου μέτρησης που θα χρησιμοποιούνταν. Όσο το μήκος της ράβδου μέτρησης θα μειώνονταν,τόσο η μέτρηση θα γινόταν όλο και πιο ευαίσθητη σε μικρές συστροφές των συνόρων,και,θεωρητικά το μήκος της ακτογραμμής θα πλησίαζε το άπειρο όταν το μήκος της ράβδου θα πλησίαζε το μηδέν. Ο Βρετανός μαθηματικός Leweis Richardson μελέτησε αυτό το φαινόμενο,όταν προσπάθησε να συσχετίσει την συχνότητα των πολέμων με την φύση των συνόρων που χωρίζει δυο ή περισσότερα κράτη.Το αστείο είναι ότι ο Richardson βρήκε ότι ο αριθμός των πολέμων που διεξάγει μια χώρα είναι ανάλογος με το πλήθος των χωρών που συνορεύει. Ο Γάλλο-αμερικανός μαθηματικός Benoit Mandelbrot στηρίχτηκε στο έργο του Richardson και πρότεινε ότι ξη σχέση ανάμεσα στο μήκος (ε) της ράβδου μέτρησης και το φαινομενικό συνολικό μήκος (L) της ακτογραμμής μπορούσε να εκφραστεί ως προς μια παράμετρο D,που ονομάζεται διάσταση φράκταλ.

Μπορεί κάποιος να βρει το D μελετώντας την σχέση ανάμεσα στον αριθμό Ν των ράβδων μέτρησης και στο μήκος ε των ράβδων.Για μια λεία καμπύλη όπως ένα κύκλος, έχουμε Ν(ε)=c/ε ,όπου c είναι μιας σταθερά.Ωστόσο,για μια καμπύλη φράκταλ,όπως μια ακτογραμμή,αυτή η σχέση γίνεται Ν(ε)=cε/ε ^D.Η διάσταση D αντιστοιχεί κατά ένα τρόπο στην παραδοσιακή έννοια της διάστασης (μια γραμμή είναι μονοδιάστατη,ένα επίπεδο δισδιάστατο),με την διαφορά ότι D μπορεί να είναι κλάσμα. Επειδή μια ακτογραμμή είναι πολύπλοκη σε διαφορετικές κλίμακες μεγέθους και «γεμίζει» κάπως μια επιφάνεια, η διάσταση της είναι ανάμεσα στην διάσταση μιας ευθείας και ενός επιπέδου.Η δομή φράκταλ της ακτογραμμής υπονοεί ότι η επαναλαμβανομένη μεγέθυνση του γραφήματος της αποκαλύπτει περισσότερες λεπτομέρειες.Έχει υπολογιστεί η φράκταλ διάσταση για αρκετά μέρη του κόσμου,ενδεικτικά:

Νότιος Αφρική:D=1,05

Αυστραλία: D=1,13

Μεγάλη Βρετανία: D=1,25

Νορβηγία: D=1,52

Ιρλανδία : D=1,22

Ασφαλώς για πραγματικά αντικείμενα,δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απείρως μικρές ράβδους μετρήσεις ,αλλά αυτό το «παράδοξο» δείχνει ότι φυσικά ανάγλυφα έχουν κλασματικές διαστάσεις.