Σαν σήμερα. Ferdinand von Lindemann. Πως τους πετσοκόψε έτσι;

 

   Σαν σήμερα, το 1852, γεννήθηκε ο Γερμανός μαθηματικός Ferdinand von Lindemann  (1852-1939), ο άνθρωπος που έθεσε οριστικό και αμετάκλητο τέλος στο όνειρο κάθε κυκλομέτρη (*). 

  Ο Lindemann γεννήθηκε στο Γερμανικό Αννόβερο. Ο πατέρας του,δίδασκε νεότερες γλώσσες σε ένα γυμνάσιο της πόλεως. 

  Σπούδασε μαθηματικά στα Πανεπιστήμια του Γκέτινγκεν, του Ερλάνγκεν και του Μονάχου. Στο Ερλάνγκεν πήρε διδακτορικό, υπό την επίβλεψη του Φέλιξ Κλάιν, με θέμα τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Στη συνέχεια ο Λίντεμαν δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Βύρτσμπουργκ και στο Πανεπιστήμιο του Φράιμπουργκ. Κατά τη θητεία του στο Φράιμπουργκ, εκπόνησε την απόδειξη ότι ο π είναι υπερβατικός αριθμός (Θεώρημα Λίντεμαν-Βάιερστρας). Μετά το Φράιμπουργκ, ο Λίντεμαν μετακλήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Καίνιγκσμπεργκ. Εκεί ο Λίντεμαν υπήρξε ο επιβλέπων καθηγητής για τις διδακτορικές διατριβές των μαθηματικών Ντάβιντ Χίλμπερτ, Χέρμαν Μινκόφσκι και Άρνολντ Σόμμερφελντ.

  Πως τους πετσοκόψε έτσι;

   Ένας πραγματικός αριθμός λέγεται αλγεβρικός, αν είναι ρίζα μιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές και υπερβατικός αριθμός ονομάζεται ο ένας αριθμός που δεν είναι αλγεβρικός. Οι υπερβατικοί αριθμοί δεν είναι κατασκευάσιμοι με κανόνα και διαβήτη. 

  Ο Γάλλος Μαθηματικός Charles Hermite (1822-1901), το 1873 απέδειξε ότι ο αριθμός e δεν μπορεί να είναι ρίζα αλγεβρικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Με την σειρά του  εννέα χρόνια αργότερα ο Lindemann απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός, εργασία που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά το 1882 στην Ακαδημία του Βερολίνου, για να δημοσιευθεί στη συνέχεια στο περιοδικό Mathematische Annalen, τόμος 19, με τίτλο “Űber die Ludolphsche Zahl” (ο αριθμός του Ludolph).

 Το έναυσμα στον Lindemann για να ασχοληθεί επισταμένως με την υπερβατικότητα του π του το έδωσε ο ίδιος ο Hermite. Σε μια συνάντησή τους στο  Παρίσι, ο Hermite παρουσιάζοντας του την εργασία του για τον e είπε: «Είναι η ωραιότερη εργασία της ζωής μου και σας τη συνιστώ θερμά. Δυστυχώς όμως δεν μπόρεσα να επεκτείνω τις ιδέες μου για τον π.»

 Η εργασία του Lindemann έθεσε τέλος στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δηλαδή της κατασκευής με κανόνα και διαβήτη  τετραγώνου με εμβαδό  δοσμένου κύκλου. Το εμβαδό του κύκλου είναι πρ^2 άρα για να είναι δυνατή η κατασκευή θα πρέπει να κατασκευαστεί η πλευρά του τετράγωνου με μήκους  ρ√π , αλλά ο √π   δεν είναι  κατασκευάσιμος ως υπερβατικός.

 

(*)Κυκλομέτρες και επίδοξοι τετραγωνιστές!  

  Τον 16ο αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν πως κάθε προσπάθεια τετραγωνισμού του κύκλου είναι μάταιη. Σε αυτό το σημείο γίνεται ο χωρισμός των μαχητών του προβλήματος  σε δυο στρατόπεδα , στου μαθηματικούς οι οποίοι προσπαθούν  αποδείξουν ότι το πρόβλημα είναι άλυτο και στους λεγόμενους τετραγωνιστές του κύκλου οι οποίοι πίστευαν ότι θα κατόρθωναν να λύσουν το πανάρχαιο πρόβλημα.

  Στους περίφημους τετραγωνιστες του κύκλου  προσχώρησε ένα πλήθος ,αυτόκλητων κυκλoμετρών οι όποιοι δοκίμασαν τα πάντα, πιστεύοντας ότι αρκούσε να χειριστούν επιδέξια και με μαεστρία τον κανόνα και τον διαβήτη για να  λύσουν το πρόβλημα.

  Όλα αυτά  θα έληγαν το 1882, όπου ο Lindemann απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός αριθμός κατά συνέπεια δεν είναι δυνατή η έκφραση του π ως πεπερασμένη αλγεβρική εξίσωση  άρα δεν ήταν δυνατό να κατασκευαστεί  στα πλαίσια των κλασσικών ευκλείδειων απαιτήσεων.

  Εδώ αρχίζει όμως το καλό, παρότι απεδείχθη ότι το πρόβλημα ήταν αδύνατο, οι τετραγωνιστές του κύκλου δεν πείστηκαν και απέδιδαν τα πάντα στο μαθηματικό κατεστημένο… Πολλοί από αυτούς άλλαξαν τακτική  και ισχυρίζονταν  ότι υπολόγισαν το π και βρήκαν διαφορετική τιμή από την ευρέως αποδεκτή.

  Ο μαθηματικός Αύγουστος Ντε Μόργκαν (1806-1871), διηγείται την ιστορία ενός  ανθρώπου που δήλωσε: «Θεώρησα πολύ παράξενο ότι υπήρξαν σε όλες τις εποχές  τόσοι σπουδαίοι  άνθρωποι που απέτυχαν να βρουν τον πραγματικό λόγο της περιφέρειας προς την διάμετρο, και αποφάσισα να προσπαθήσω και εγώ.» Ο Άνθρωπος άνοιξε ένα δίσκο διαμέτρου 12 ιντσών κατά μήκος ένας χάρακα και βρήκε ότι ο λόγος της περιφέρειας προς την διάμετρο είναι ακριβώς» 3.140625.

  Ο Ντε Μόργκαν ασχολήθηκε εκτενώς με την φρενίτιδα των επίδοξων τετραγωνιστων του κύκλου, ήταν ο πρώτος που επινόησε την φράση Morbus Cyclometricus (η επιδημία του τετραγωνισμού του κύκλου). Θεωρούσε τους επίδοξους κυκλομέτρες σαν την δαρβινική εξέλιξη μιας αράχνης, η οποία κάνει πάντα κύκλους, και αρχίζει πάλι από την αρχή, όταν χαλάει ο ιστός της. Ανακήρυξε τον Άγιο Βίτο προστάτη  των τετραγωνιστών του κύκλου, έγραφε:

 «…οδηγεί τους πιστούς του σε ένα ατέλειωτο και ακατανόητο χορό. Μετά τον ίδιο τον κόκκορα, κάνεις δεν κοκορεύεται περισσότερο από τον τετραγωνιστή του κύκλου. Ο Άγιος Βιτο συχνά παριστάνεται με ένα κόκκορα στο πλάι του!»        

  Κάθε χρόνο προτείνονται αρκετές υποτιθέμενες λύσεις για το πρόβλημα από τους τετραγωνιστές και πάντα οι αποδείξεις τους  καταρρίπτονται από τους μαθηματικούς.

   Μέχρι και θεωρία συνωμοσίας υπάρχει σχετικά. Ότι δηλαδή πολλοί μαθηματικοί θα ζημιωθούν, αν βρεθούν λάθη στα συγγράμματα τους για αυτό κρατούν κρυφή από την ανθρωπότητα την πραγματική τιμή του π. Μια μικρή αναζήτηση  στο Google  για τον τετραγωνισμό του κύκλου θα σας πείσει ότι οι κυκλομέτρες ζουν..ανάμεσα μας.