Σαν σήμερα

  Σαν σήμερα, το 2016, υπoβλήθηκε στο Arxiv.org η μεγαλύτερη  μαθηματική «απόδειξη» (μάλλον επαλήθευση) η οποία καταλαμβάνει χώρο 200 terabytes. 

Το  πρόβλημα που παρέμενε μέχρι το 2016 άλυτο, είχε επικηρυχτεί  το 1980 από τους Erdös-Graham  έναντι 100 δολαρίων.  

 Πρόκειται για το πρόβλημα των «μπουλιανών πυθαγόρειων τριάδων», το οποίο απαντήθηκε από τους Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, και Victor W. Marek (Solving and Verifying the boolean Pythagorean Triples problem via Cube-and-Conquer

(https://arxiv.org/abs/1605.00723))

Το πρόβλημα: 

  Είναι δυνατόν να χρωματίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς είτε με κόκκινο είτε με μπλε χρώμα, έτσι ώστε να μην υπάρχει πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων α, β, γ ((πυθαγόρεια τριάδα: αριθμοί α, β, γ που ικανοποιούν τη σχέση α^2 + β^2 = γ^2 )με το ίδιο χρώμα;

   Για παράδειγμα, στην πυθαγόρεια τριάδα 3, 4 και 5, αν τα 4 και 5 είναι χρώματος μπλε, τότε το  3 θα πρέπει να είναι κόκκινο.

  Η απόδειξη πραγματοποιήθηκε με χρήση  υπολογιστή από τους Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, ελέγχοντας όλους τους δυνατούς χρωματισμούς των αριθμών μέχρι το 7825 και βρέθηκε ότι είναι αδύνατος ένας τέτοιου είδους διαχωρισμός.

Οι αριθμοί 1 έως 7824 μπορούν να χρωματιστούν είτε με μπλε χρώμα είτε με κόκκινο, έτσι ώστε να μην υπάρχει καμία πυθαγόρεια τριάδα με το ίδιο χρώμα. Το πλέγμα των 7824 τετραγώνων στην εικόνα δείχνει μια τέτοια λύση (τα λευκά τετράγωνα μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε χρώμα από τα δυο). 

Όμως για τους αριθμούς 1 έως 7825 αυτό είναι αδύνατο!

  Φανταστείτε ότι υπάρχουν 10^2300 χρωματικοί συνδυασμοί  των αριθμών μέχρι τον 7825, αλλά οι ερευνητές χρησιμοποιώντας συμμετρίες μείωσαν τους συνδυασμούς σε ένα τρισεκατομμύριο. Έτσι, για την διερεύνηση απαιτήθηκαν δυο ημέρες λειτουργίας του υπερ-υπολογιστή Stampede στο Πανεπιστήμιο του Τέξας. 

 Η απόδειξη καταλαμβάνει 200 terabytes δεδομένων, δηλαδή περίπου όσο χώρο πιάνουν όλα τα ψηφιοποιημένα κείμενα της τεράστιας Βιβλιοθήκης του Κογκρέσου των ΗΠΑ. 

   Πάντως οι Heule, Kullmann και Marek  που ασχολήθηκαν με  το πρόβλημα , στην περίληψη της δημοσίευσής τους, φροντίζουν να αναφέρουν χαριτολογώντας την αμοιβή που προσέφερε ο Ronald Graham πριν από δεκαετίες!

Ο Kullmann, επισημαίνει ότι η απόδειξή τους – που δεν είναι απόδειξη με την κλασική έννοια του όρου στα μαθηματικά – δεν εξηγεί τι συμβαίνει από το 7825 και μετά, κι ούτε μπορεί να μας πει αν ο συγκεκριμένος αριθμός έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία. Έτσι τα χρήματα (sic) του επάθλου δεν μπορούν να γίνουν ..απαιτητά!

  Δεν αποκλείεται λοιπόν στο άμεσο μέλλον να εμφανιστεί μια αμιγώς μαθηματική απόδειξη  που να επιλύει το πρόβλημα και να καταβληθεί το έπαθλο των 100 δολαρίων.

https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_Pythagorean_triples_problem?fbclid=IwAR2vxMPP65ci1k5E6t1D8UR1wBiiGvkYwfzPAiffax1CM27jT6ClYEVPid0