Η ιστορία των μαθηματικών αποκαλύπτει διαφορετικούς τρόπους σκέψης και απόδειξης, οι οποίοι αντανακλούν βαθύτερες φιλοσοφικές και πολιτισμικές παραδόσεις. Ιδιαίτερα γόνιμη είναι η αντιπαραβολή ανάμεσα στην αυστηρή, λογικο-αξιωματική απόδειξη των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και στην εποπτική–χωρική προσέγγιση που συναντάμε στα ινδικά και τα κινεζικά μαθηματικά.
Στην αρχαία Ελλάδα, με κορυφαία παραδείγματα τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, η μαθηματική απόδειξη αποτέλεσε κεντρικό ιδανικό. Η γνώση έπρεπε να θεμελιώνεται σε σαφώς διατυπωμένους ορισμούς, αξιώματα και λογικά βήματα, έτσι ώστε κάθε συμπέρασμα να προκύπτει με αναγκαιότητα από προηγούμενες προτάσεις. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη δεν είναι απλώς μια συλλογή γεωμετρικών αποτελεσμάτων, αλλά ένα πρότυπο αυστηρής δομής σκέψης: η αλήθεια δεν πείθει με την εικόνα ή τη διαίσθηση, αλλά με την αδιάσπαστη αλυσίδα του λόγου. Αυτή η έμφαση στην απόδειξη επηρέασε καθοριστικά τη δυτική επιστημονική παράδοση.
Αντίθετα, στα Ινδικά και Κινεζικά μαθηματικά η έμφαση δόθηκε συχνά στην εποπτική κατανόηση, στη χωρική αναπαράσταση και στην αποτελεσματικότητα των μεθόδων. Στην Κίνα, έργα όπως τα «Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης» χρησιμοποιούν διαγράμματα, πρακτικά προβλήματα και αλγοριθμικές διαδικασίες για να δείξουν γιατί ένα αποτέλεσμα λειτουργεί. Η «απόδειξη» δεν είναι πάντα ρητά λογική, αλλά ενσωματωμένη στη γεωμετρική διάταξη ή στη διαδικασία υπολογισμού. Παρόμοια, στην Ινδία συναντάμε αποδείξεις που βασίζονται στη διαίσθηση και στη συμμετρία, όπως οι γεωμετρικές ερμηνείες αλγεβρικών ταυτοτήτων ή η χρήση σχημάτων για την κατανόηση σχέσεων μεταξύ μεγεθών.
Οι δύο αυτές προσεγγίσεις δεν βρίσκονται σε σχέση ανωτερότητας ή κατωτερότητας, αλλά εκφράζουν διαφορετικές αντιλήψεις για το τι σημαίνει «κατανόηση». Οι Έλληνες αναζήτησαν τη βεβαιότητα μέσω της αυστηρής λογικής, ενώ οι Ινδοί και οι Κινέζοι προτίμησαν τη σαφήνεια της εικόνας και την πρακτική αποτελεσματικότητα. Η σύγχρονη μαθηματική σκέψη, συνδυάζοντας την αυστηρότητα της απόδειξης με την εποπτική δύναμη των σχημάτων και των μοντέλων, δείχνει ότι αυτές οι παραδόσεις δεν είναι ανταγωνιστικές αλλά συμπληρωματικές.
Οι «αποδείξεις χωρίς λόγια» (proofs without words) εντάσσονται πρωτίστως στη δεύτερη σχολή σκέψης, δηλαδή στην εποπτική–χωρική παράδοση των μαθηματικών, όπως αυτή αναπτύχθηκε κυρίως στα κινεζικά και ινδικά μαθηματικά.
Γιατί ανήκουν στην εποπτική–χωρική σχολή
-Βασίζονται στην εικόνα, στη γεωμετρική διάταξη και στη συμμετρία, όχι στη λεκτική ή συμβολική λογική ανάπτυξη.
-Η κατανόηση του αποτελέσματος προκύπτει άμεσα από την οπτική αντίληψη: «βλέπεις» γιατί ισχύει.
-Δεν απαιτούν ακολουθία προτάσεων, λημμάτων και συμπερασμάτων, αλλά μια χωρική σύνθεση που καθιστά το αποτέλεσμα προφανές.
Τυπικά παραδείγματα είναι:
-γεωμετρικές απεικονίσεις του Πυθαγορείου θεωρήματος,
-οπτικές αποδείξεις αλγεβρικών ταυτοτήτων
-διατάξεις σχημάτων που «ενσωματώνουν» τον συλλογισμό.
Παρότι οι αποδείξεις χωρίς λόγια (proofs without words) δεν ανήκουν στην αυστηρή λογικο-αξιωματική ελληνική παράδοση, δεν είναι ξένες προς αυτήν. Στη σύγχρονη μαθηματική πρακτική λειτουργούν συχνά:
-ως διαισθητική προετοιμασία μιας αυστηρής απόδειξης,
ή ως συνοπτική απεικόνιση μιας ήδη γνωστής λογικής δομής.
Με άλλα λόγια, ενώ η φιλοσοφική τους ρίζα είναι εποπτική και χωρική, η σύγχρονη χρήση τους γεφυρώνει τις δύο σχολές:
δείχνουν γιατί κάτι είναι αληθές με το βλέμμα, πριν (ή χωρίς να) αποδειχθεί με λόγια.
Στην εικόνα, η πλέον γνωστή απόδειξη χωρίς λόγια του Πυθαγορείου θεωρήματος που έχει δυο ιστορικές αναφορές: το στο Κινεζικό Zhoubi Suanjing (1ος αι. π.Χ.) και το Bijaganita (1150 μ.Χ.) του Ινδού μαθηματικού Bhāskara II (12ος αιώνας μ.Χ. )
Για περαιτέρω διερεύνηση να μνημονεύσω και το εξαιρετικό βιβλίο "Αποδείξεις χωρίς λόγια" του Nelsen B. Roger.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου