Ο Euler, ο αριθμός 50 και το μυστήριο των διαμερίσεων

 

Σαν σήμερα, το 1740, ο Philip Naudé ο νεότερος (1684–1747) έγραψε από το Βερολίνο στον Leonhard Euler, θέτοντάς του το ερώτημα:

«Με πόσους τρόπους μπορεί ο αριθμός 50 να γραφεί ως άθροισμα επτά διαφορετικών θετικών ακεραίων;»

Το πρόβλημα φαίνεται πως κέντρισε ιδιαίτερα το ενδιαφέρον του Euler. Έδωσε την πρώτη του απάντηση στις 6 Απριλίου 1741, σε εργασία που παρουσίασε κατά την εβδομαδιαία συνεδρίαση της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Η εργασία αυτή δημοσιεύθηκε δέκα χρόνια αργότερα και φέρει τον αριθμό E158 στον κατάλογο του Eneström.

Ο William Dunham αναφέρει ότι ο Euler απάντησε στον Naudé ταχυδρομικώς μέσα σε λίγες μόλις ημέρες και μάλιστα απολογήθηκε για την καθυστέρηση, επειδή εκείνη την περίοδο αντιμετώπιζε σοβαρά προβλήματα όρασης.

Ο Euler επανήλθε στο ίδιο πρόβλημα με διαφορετική μέθοδο στο έργο του Introductio in analysin infinitorum (Εισαγωγή στην ανάλυση του απείρου), E101, που δημοσιεύθηκε το 1748. Στη συνέχεια βελτίωσε ακόμη περισσότερο τη μέθοδό του στην εργασία De partitione numerorum (Περί των διαμερίσεων των αριθμών), E191, την οποία έγραψε το 1750 και η οποία δημοσιεύθηκε το 1753.

Προς το τέλος της ζωής του, το 1769, επέστρεψε για ακόμη μία φορά στο θέμα, στην εργασία De partitione numerorum in partes tam numero quam specie datas (Περί της διαμέρισης των αριθμών σε μέρη δεδομένα τόσο ως προς το πλήθος όσο και ως προς το είδος), E394, η οποία δημοσιεύθηκε το 1770.

Ed Sandifer, How Euler Did It.

Μία και μόνο επιστολή στάθηκε έτσι η αφορμή για ένα πρόβλημα στο οποίο ο Euler επανερχόταν, διευρύνοντας και τελειοποιώντας τη λύση του, επί σχεδόν τριάντα χρόνια. Ο Euler είχε πράγματι μια μαθηματική εμμονή στο προβλημα

Η απάντηση που βρήκε στο ερώτημα του Naudé ήταν: 522 τρόποι.

Περιορισμένες διαμερίσεις

Οι περιορισμένες διαμερίσεις ενός αριθμού είναι εκείνες που ικανοποιούν κάποια πρόσθετη συνθήκη. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν δύο κατηγορίες:

Οι διαμερίσεις σε διαφορετικά μέρη, στις οποίες όλοι οι προσθετέοι είναι μεταξύ τους διαφορετικοί,

και οι διαμερίσεις σε περιττά μέρη, στις οποίες όλοι οι προσθετέοι είναι περιττοί αριθμοί.

Για κάθε θετικό ακέραιο n, το πλήθος των διαμερίσεών του σε περιττά μέρη είναι ίσο με το πλήθος των διαμερίσεών του σε διαφορετικά μέρη.

Αν το πλήθος των διαμερίσεων του n σε διαφορετικά μέρη συμβολίζεται με d(n), τότε το ίδιο πλήθος προκύπτει και για τις διαμερίσεις του n σε περιττά μέρη.

Το εντυπωσιακό αυτό αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Leonhard Euler το 1748.