Στον κόσμο του αθλητισμού, ο πίνακας της βαθμολογίας θεωρείται ο αδιάψευστος κριτής. Οι νίκες και οι ήττες καθορίζουν ποιος προκρίνεται, ποιος αποκλείεται και ποιος κατακτά το πρωτάθλημα. Όμως, πίσω από τους αριθμούς της βαθμολογίας κρύβεται μια ενδιαφέρουσα μαθηματική αλήθεια: δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό νικών δεν είναι απαραίτητα εξίσου ισχυρές.
Μια ομάδα μπορεί να κερδίζει συστηματικά με διαφορά ενός πόντου και να χάνει με μεγάλη διαφορά, ενώ μια άλλη να συντρίβει τους αντιπάλους της, αλλά να χάνει αρκετούς οριακούς αγώνες. Ποια από τις δύο είναι πραγματικά καλύτερη;
Αυτό ακριβώς το ερώτημα απασχόλησε τον Αμερικανό στατιστικό αναλυτή του μπέιζμπολ Bill James, έναν από τους σημαντικότερους πρωτοπόρους της sabermetrics, της συστηματικής εφαρμογής στατιστικών και μαθηματικών μεθόδων στο άθλημα.
Η απάντησή του οδήγησε σε ένα από τα πιο κομψά εργαλεία της αθλητικής στατιστικής: το Πυθαγόρειο Θεώρημα των Σπορ (Pythagorean Theorem of Sports), γνωστό και ως Πυθαγόρεια προσδοκία νικών (Pythagorean expectation).
Και, όσο παράξενο κι αν ακούγεται, η ιδέα αυτή συνδέει το άθροισμα δύο τετραγώνων με τη δυνατότητα μιας ομάδας να κερδίζει αγώνες!
Η γέννηση του τύπου: Από το μπέιζμπολ στον Πυθαγόρα
Μελετώντας στατιστικά δεδομένα του αμερικανικού πρωταθλήματος μπέιζμπολ (MLB), ο Bill James διαπίστωσε ότι το ποσοστό νικών μιας ομάδας συνδέεται στενά με δύο μεγέθη: τους πόντους που σημειώνει (runs scored) και τους πόντους που δέχεται (runs allowed).
Πρότεινε τον ακόλουθο απλό τύπο:
P = Υ² / (Υ² + Κ²)
όπου:
P: το εκτιμώμενο ποσοστό νικών της ομάδας, ως αριθμός από 0 έως 1.
Υ: οι συνολικοί πόντοι υπέρ.
Κ: οι συνολικοί πόντοι κατά.
Αν ορίσουμε ως R = Υ/Κ τον λόγο σκοραρίσματος, τότε ο τύπος γράφεται ακόμη απλούστερα:
P = R² / (R² + 1)
Γιατί, όμως, ονομάστηκε «Πυθαγόρειο Θεώρημα»;
Η εξήγηση βρίσκεται στον παρονομαστή της πρώτης εξίσωσης. Το άθροισμα δύο τετραγώνων θυμίζει τη γνωστή γεωμετρική σχέση:
α² + β² = γ²
που ισχύει για τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Η ομοιότητα αυτή ενέπνευσε την ονομασία. Αξίζει, ωστόσο, να διευκρινίσουμε ότι ο τύπος του James δεν αποδεικνύεται από το γεωμετρικό Πυθαγόρειο Θεώρημα. Πρόκειται για ένα εμπειρικό στατιστικό μοντέλο, του οποίου η χρησιμότητα ελέγχεται με πραγματικά αγωνιστικά δεδομένα.
Οι μαθηματικές ιδιότητες
Το μοντέλο διαθέτει τρεις ιδιαίτερα εύλογες ιδιότητες.
Πρώτον, όταν οι πόντοι υπέρ και κατά είναι θετικοί, το αποτέλεσμα βρίσκεται αυστηρά μεταξύ 0 και 1, δηλαδή μεταξύ 0% και 100%.
Δεύτερον, όσο αυξάνονται οι πόντοι που σημειώνει μια ομάδα, με σταθερούς τους πόντους που δέχεται, τόσο αυξάνεται το εκτιμώμενο ποσοστό νικών.
Τρίτον, όσο μειώνονται οι πόντοι που δέχεται, με σταθερούς τους πόντους που σημειώνει, τόσο βελτιώνεται η εκτίμηση.
Επιπλέον, αν μια ομάδα σκοράρει ακριβώς όσους πόντους δέχεται, τότε R = 1 και το μοντέλο δίνει P = 0,5, δηλαδή αναμενόμενο ποσοστό νικών 50%.
Πόσο ακριβής είναι ο τύπος;
Σε μια ανάλυση δεδομένων του MLB για τις περιόδους 1980–2006, εξετάστηκαν διάφορες τιμές του εκθέτη αντί του αρχικού 2.
Ο εκθέτης 1,9 έδωσε μέσο απόλυτο σφάλμα περίπου 1,96 ποσοστιαίες μονάδες, ενώ ο αρχικός εκθέτης 2 έδωσε σχεδόν το ίδιο αποτέλεσμα, περίπου 1,97 ποσοστιαίες μονάδες.
Αυτό αντιστοιχεί, σε μια περίοδο 162 αγώνων, σε μέση απόλυτη απόκλιση περίπου τριών νικών ανά ομάδα.
Η απλότητα του αρχικού τύπου, σε συνδυασμό με την καλή προσαρμογή του στα ιστορικά δεδομένα, εξηγεί τη διαχρονική δημοτικότητά του.
Ένα πραγματικό παράδειγμα: Detroit Tigers, 2006
Το 2006, οι Detroit Tigers σημείωσαν 822 πόντους και δέχτηκαν 675.
Επομένως:
R = 822/675 ≈ 1,218
Εφαρμόζοντας τον τύπο:
P = 822² / (822² + 675²) ≈ 0,597
Το μοντέλο εκτιμούσε, λοιπόν, ποσοστό νικών περίπου 59,7%.
Στην πραγματικότητα, οι Tigers κέρδισαν 95 από τους 162 αγώνες τους, δηλαδή ποσοστό περίπου 58,6%.
Η απόκλιση ήταν μόλις 1,1 ποσοστιαία μονάδα, ή λιγότερες από δύο νίκες σε ολόκληρη την αγωνιστική περίοδο!
Από το μπέιζμπολ στο NFL και στο NBA
Το ενδιαφέρον είναι ότι η βασική ιδέα μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλα αθλήματα, αρκεί να προσαρμοστεί κατάλληλα ο εκθέτης.
Ο γενικευμένος τύπος είναι:
P = Rᵏ / (Rᵏ + 1)
όπου k είναι ένας θετικός εκθέτης που προσδιορίζεται στατιστικά από δεδομένα του αντίστοιχου αθλήματος.
Ο αναλυτής Daryl Morey, γνωστός για τη μετέπειτα θητεία του ως γενικός διευθυντής των Houston Rockets, παρουσίασε εκθέτες που χρησιμοποιήθηκαν σε διαφορετικά αμερικανικά πρωταθλήματα.
Αμερικανικό ποδόσφαιρο (NFL)
Για το NFL, ο Morey χρησιμοποίησε εκθέτη περίπου 2,37.
Στην ανάλυση των περιόδων 2005–2007 που παρουσιάζει ο Wayne Winston στο βιβλίο του Mathletics, ο εκθέτης 2,7 έδωσε μέσο απόλυτο σφάλμα περίπου 5,9 ποσοστιαίες μονάδες, έναντι 6,1 για τον εκθέτη 2,37.
Οι διαφορές αυτές δείχνουν ότι η κατάλληλη τιμή του εκθέτη εξαρτάται από το δείγμα δεδομένων που χρησιμοποιείται.
Μπάσκετ (NBA)
Στο NBA, οι κατάλληλοι εκθέτες είναι πολύ μεγαλύτεροι.
Ο Morey χρησιμοποίησε εκθέτη 13,91, ενώ σε ανάλυση δεδομένων των περιόδων 2004–2007 ο εκθέτης 15,4 έδωσε ελαφρώς μικρότερο μέσο απόλυτο σφάλμα, περίπου 3,36 ποσοστιαίες μονάδες, έναντι 3,40.
Η μεγάλη διαφορά σε σχέση με το μπέιζμπολ συνδέεται με τη διαφορετική κατανομή των σκορ και τη σχέση μεταξύ διαφοράς πόντων και πιθανότητας νίκης στο μπάσκετ.
Αξίζει να σημειωθεί ότι η στατιστική βάση Basketball-Reference χρησιμοποιεί εκθέτη 14 στον υπολογισμό των Πυθαγόρειων νικών του NBA.
Δεν υπάρχει, επομένως, ένας μοναδικός «μαγικός» εκθέτης που να λειτουργεί εξίσου καλά σε κάθε άθλημα, εποχή και διοργάνωση.
Μπορούν τα μαθηματικά να αποκαλύψουν πότε μια ομάδα είναι τυχερή;
Η σημαντικότερη χρησιμότητα του μοντέλου βρίσκεται στη σύγκριση της πραγματικής επίδοσης μιας ομάδας με την επίδοση που υποδηλώνουν οι πόντοι υπέρ και κατά.
Αν μια ομάδα έχει κερδίσει σημαντικά περισσότερους αγώνες από όσους εκτιμά το Πυθαγόρειο μοντέλο, αυτό μπορεί να αποτελεί ένδειξη ότι ευνοήθηκε από οριακά αποτελέσματα ή άλλους συγκυριακούς παράγοντες.
Αντίστροφα, μια ομάδα που κερδίζει λιγότερο συχνά από όσο υποδηλώνει η συνολική διαφορά πόντων της μπορεί να είναι ισχυρότερη από όσο δείχνει η βαθμολογία.
Η διαφορά αυτή δεν αποτελεί απόδειξη τύχης. Μπορεί να επηρεάζεται και από τη στρατηγική, την ποιότητα των αντιπάλων, τις απουσίες, τον τρόπο διαχείρισης των αγώνων και πολλούς άλλους παράγοντες.
Ωστόσο, προσφέρει ένα πολύτιμο στοιχείο για την αξιολόγηση της πραγματικής αγωνιστικής εικόνας.
Η περίπτωση των Washington Nationals το 2005
Στις 4 Ιουλίου 2005, οι Washington Nationals βρίσκονταν στην πρώτη θέση με εντυπωσιακό ρεκόρ 50 νικών και 32 ηττών.
Αν προεκτείναμε απλώς αυτό το ποσοστό νικών σε ολόκληρη την περίοδο των 162 αγώνων, θα περιμέναμε περίπου 99 νίκες.
Όμως, υπήρχε ένα πρόβλημα.
Ο λόγος των πόντων που σημείωναν προς τους πόντους που δέχονταν ήταν μόλις:
R = 0,991
Άρα, το Πυθαγόρειο μοντέλο έδινε:
P = 0,991² / (1 + 0,991²) ≈ 0,4955
Μια ομάδα με αυτή τη σχέση σκοραρίσματος θα είχε, σε μια πλήρη περίοδο 162 αγώνων, περίπου 80 αναμενόμενες νίκες και 82 ήττες.
Αυτό δεν σημαίνει ότι το μοντέλο προέβλεπε απευθείας το αποτέλεσμα των 80 αγώνων που απέμεναν. Ήταν, όμως, ισχυρή ένδειξη ότι το μέχρι τότε εξαιρετικό ρεκόρ δεν συμβάδιζε με τη συνολική εικόνα του σκοραρίσματος.
Τι συνέβη στη συνέχεια;
Οι Nationals πέτυχαν μόλις 31 νίκες και 49 ήττες στους εναπομείναντες αγώνες, ολοκληρώνοντας τη σεζόν με 81 νίκες και 81 ήττες.
Οι μαθηματικοί είχαν έναν ακόμη λόγο να κοιτάζουν πέρα από τη βαθμολογία!
Πόσο καλά προβλέπονται τα playoffs;
Στο βιβλίο Mathletics (2009), ο Wayne Winston παρουσίασε μια σύγκριση για τις σειρές playoffs του MLB κατά την περίοδο 1980–2007.
Η μέθοδος που επέλεγε την ομάδα με τον υψηλότερο λόγο σκοραρίσματος προέβλεψε σωστά τον νικητή σε 57 από τις 106 σειρές, δηλαδή στο 53,8%.
Αντίθετα, η επιλογή της ομάδας με τις περισσότερες νίκες στην κανονική περίοδο πέτυχε σε 50 από τις 100 συγκρίσιμες σειρές, δηλαδή στο 50%. Σε έξι περιπτώσεις οι ομάδες είχαν ίδιο αριθμό νικών και η δεύτερη μέθοδος δεν μπορούσε να διακρίνει φαβορί.
Το πλεονέκτημα της Πυθαγόρειας μεθόδου στο συγκεκριμένο δείγμα ήταν υπαρκτό αλλά μικρό. Τα αποτελέσματα δεν αρκούν για να εγγυηθούν μεγαλύτερη προβλεπτική ακρίβεια σε κάθε μελλοντική διοργάνωση.
Το NBA του 2007: Όταν οι αριθμοί είδαν κάτι που έκρυβε η βαθμολογία
Μία από τις πιο ενδιαφέρουσες ιστορικές εφαρμογές του μοντέλου προέρχεται από την αγωνιστική περίοδο 2006–2007 του NBA.
Εκείνη τη χρονιά, τρεις ομάδες παρουσίασαν αξιοσημείωτες αποκλίσεις ανάμεσα στο πραγματικό και το Πυθαγόρειο ποσοστό νικών τους.
Με εκθέτη 13,91, τα αποτελέσματα ήταν περίπου τα εξής:
| Ομάδα | Πυθαγόρειο ποσοστό | Πραγματικό ποσοστό |
|---|---|---|
| Dallas Mavericks | 73,9% | 81,7% |
| Miami Heat | 46,7% | 53,7% |
| San Antonio Spurs | 77,6% | 70,7% |
Οι Dallas Mavericks ολοκλήρωσαν την κανονική περίοδο με το εντυπωσιακό ρεκόρ 67–15. Ωστόσο, το μοντέλο εκτιμούσε περίπου 61 αναμενόμενες νίκες, αντί για τις 67 πραγματικές.
Οι Miami Heat επίσης είχαν περίπου επτά ποσοστιαίες μονάδες υψηλότερο πραγματικό ποσοστό νικών από το εκτιμώμενο.
Και οι δύο ομάδες αποκλείστηκαν στον πρώτο γύρο των playoffs: οι Mavericks από τους Golden State Warriors και οι Heat από τους Chicago Bulls.
Στην αντίθετη πλευρά βρίσκονταν οι San Antonio Spurs.
Η ομάδα είχε πετύχει 58 νίκες, αλλά το Πυθαγόρειο μοντέλο εκτιμούσε περίπου 64 νίκες σε 82 αγώνες. Το εκτιμώμενο ποσοστό νικών της, σχεδόν 78%, ήταν το υψηλότερο του πρωταθλήματος.
Στα playoffs, οι Spurs κατέκτησαν τελικά τον τίτλο του NBA.
Ασφαλώς, το γεγονός ότι το μοντέλο συνέπεσε με αυτές τις εξελίξεις δεν αποδεικνύει ότι είχε προβλέψει με βεβαιότητα το αποτέλεσμα ή ότι όλες οι αποκλίσεις της κανονικής περιόδου οφείλονταν στην τύχη.
Αναδεικνύει, όμως, πόσο χρήσιμη μπορεί να είναι η σχέση πόντων υπέρ και κατά ως συμπληρωματικό εργαλείο αξιολόγησης.
Από τους πόντους στις νίκες: Πόσο αξίζει μια μεταγραφή;
Το Πυθαγόρειο μοντέλο δεν χρησιμεύει μόνο στην αξιολόγηση της συνολικής απόδοσης μιας ομάδας.
Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμήσουμε πώς μια συγκεκριμένη μεταβολή στην παραγωγή πόντων θα επηρεάσει τις αναμενόμενες νίκες της.
Ας εξετάσουμε ένα υποθετικό παράδειγμα από το μπέιζμπολ.
Μια ομάδα ολοκληρώνει μια περίοδο με:
850 πόντους υπέρ.
800 πόντους κατά.
162 αγώνες.
Ο λόγος σκοραρίσματος είναι:
R = 850/800 = 1,0625
Επομένως, οι αναμενόμενες νίκες της είναι:
Ν = 162 × 850² / (850² + 800²) ≈ 85,9
Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ομάδα αποκτά έναν καλύτερο παίκτη, ο οποίος, σε σύγκριση με εκείνον που αντικαθιστά, εκτιμάται ότι θα προσφέρει 20 επιπλέον πόντους στη διάρκεια της ίδιας περιόδου.
Αν όλες οι υπόλοιπες συνθήκες παραμείνουν αμετάβλητες, οι πόντοι υπέρ αυξάνονται από 850 σε 870.
Το νέο αναμενόμενο πλήθος νικών γίνεται:
Ν = 162 × 870² / (870² + 800²) ≈ 87,8
Άρα:
87,8 − 85,9 = 1,9 επιπλέον αναμενόμενες νίκες.
Με άλλα λόγια, σύμφωνα με αυτό το απλοποιημένο μοντέλο, η επιπλέον παραγωγή 20 πόντων αντιστοιχεί σε περίπου δύο επιπλέον νίκες σε μια αγωνιστική περίοδο.
Αυτό βέβαια προϋποθέτει ότι μπορούμε να εκτιμήσουμε αξιόπιστα την πραγματική επίδραση του παίκτη στο συνολικό σκοράρισμα και ότι δεν μεταβάλλεται η αμυντική απόδοση της ομάδας.
Η γενικότερη ιδέα συνδέεται με τη φιλοσοφία προηγμένων δεικτών αξιολόγησης παικτών, όπως οι WAR (Wins Above Replacement) στο μπέιζμπολ και VORP (Value Over Replacement Player) στο μπάσκετ.
Οι δείκτες αυτοί δεν προκύπτουν απευθείας από τον Πυθαγόρειο τύπο. Χρησιμοποιούν πρόσθετες στατιστικές μεθόδους για να εκτιμήσουν τη συνεισφορά ενός παίκτη σε σχέση με έναν παίκτη επιπέδου αντικατάστασης.
Έτσι, τα μαθηματικά βοηθούν τις ομάδες να προσεγγίζουν ένα ιδιαίτερα πρακτικό ερώτημα: πόση επιπλέον αγωνιστική αξία προσφέρει ένας παίκτης και πόσο δικαιολογείται να πληρωθεί γι' αυτήν;
Τι δεν μπορεί να μας πει το Πυθαγόρειο Θεώρημα;
Όσο χρήσιμο κι αν είναι, το μοντέλο έχει περιορισμούς.
Δεν λαμβάνει απευθείας υπόψη τραυματισμούς, αλλαγές προπονητή, τη δυναμικότητα των αντιπάλων, την κατανομή των πόντων ανά αγώνα ή αλλαγές στη σύνθεση μιας ομάδας.
Επιπλέον, επειδή υπολογίζεται από τα συνολικά σκορ, δεν μπορεί να διακρίνει πλήρως μια ομάδα που κέρδισε έναν αγώνα με 30 πόντους από τρεις αγώνες στους οποίους κέρδισε με 10 πόντους, εφόσον οι συνολικοί πόντοι υπέρ και κατά είναι ίδιοι.
Το μοντέλο χρειάζεται επίσης προσαρμογές σε αθλήματα όπως το ποδόσφαιρο, όπου οι ισοπαλίες, τα χαμηλά σκορ και τα συστήματα βαθμολόγησης επηρεάζουν διαφορετικά τη σχέση σκοραρίσματος και αποτελεσμάτων.
Κυρίως, πρέπει να θυμόμαστε ότι μια στατιστική εκτίμηση δεν αποτελεί μαθηματική βεβαιότητα.
Το Πυθαγόρειο μοντέλο μπορεί να εντοπίσει μια πιθανή αναντιστοιχία μεταξύ αποτελεσμάτων και συνολικής αγωνιστικής επίδοσης. Δεν μπορεί, όμως, να μας εγγυηθεί τι θα συμβεί στον επόμενο αγώνα.
Συμπέρασμα: Όταν η βαθμολογία δεν λέει ολόκληρη την ιστορία
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα των Σπορ είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πώς μια απλή μαθηματική σχέση μπορεί να αποκαλύψει πληροφορίες που δεν είναι άμεσα ορατές στον πίνακα της βαθμολογίας.
Η πραγματική δυναμικότητα μιας ομάδας δεν αποτυπώνεται πάντοτε στον αριθμό των νικών της. Η σχέση ανάμεσα στους πόντους που σημειώνει και σε εκείνους που δέχεται προσφέρει μια συμπληρωματική εικόνα της αγωνιστικής της ποιότητας και μπορεί να αναδείξει περιπτώσεις όπου τα πραγματικά αποτελέσματα αποκλίνουν αισθητά από τη συνολική επίδοσή της.
Δεν εξαλείφει την τύχη ούτε προβλέπει με βεβαιότητα το μέλλον. Περιορίζει, όμως, την εξάρτησή μας από την επιφανειακή ανάγνωση των νικών και των ηττών.
Και μας υπενθυμίζει κάτι που οι μαθηματικοί γνωρίζουν καλά: μερικές φορές, οι πιο ενδιαφέρουσες αλήθειες δεν βρίσκονται στους αριθμούς που βλέπουμε, αλλά στις σχέσεις που κρύβονται ανάμεσά τους.
Βιβλιογραφία και πηγές
Winston, Wayne L. (2009). Mathletics: How Gamblers, Managers, and Sports Enthusiasts Use Mathematics in Baseball, Basketball, and Football. Princeton University Press, κεφάλαιο 1: «Baseball's Pythagorean Theorem».
Bill James. Εργασίες για την Πυθαγόρεια προσδοκία νικών και τη στατιστική ανάλυση του μπέιζμπολ.
Basketball-Reference. Glossary και τεχνική τεκμηρίωση των δεικτών Pythagorean Wins, BPM και VORP.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου