Μπέρναρντ Ρίμαν, μια εσωστρεφής ιδιοφυΐα!

 

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και οι..άλλοι!

 

Η ιστορία των μαθηματικών αποκαλύπτει διαφορετικούς τρόπους σκέψης και απόδειξης, οι οποίοι αντανακλούν βαθύτερες φιλοσοφικές και πολιτισμικές παραδόσεις. Ιδιαίτερα γόνιμη είναι η αντιπαραβολή ανάμεσα στην αυστηρή, λογικο-αξιωματική απόδειξη των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και στην εποπτική–χωρική προσέγγιση που συναντάμε στα ινδικά και τα κινεζικά μαθηματικά.

   Στην αρχαία Ελλάδα, με κορυφαία παραδείγματα τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, η μαθηματική απόδειξη αποτέλεσε κεντρικό ιδανικό. Η γνώση έπρεπε να θεμελιώνεται σε σαφώς διατυπωμένους ορισμούς, αξιώματα και λογικά βήματα, έτσι ώστε κάθε συμπέρασμα να προκύπτει με αναγκαιότητα από προηγούμενες προτάσεις. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη δεν είναι απλώς μια συλλογή γεωμετρικών αποτελεσμάτων, αλλά ένα πρότυπο αυστηρής δομής σκέψης: η αλήθεια δεν πείθει με την εικόνα ή τη διαίσθηση, αλλά με την αδιάσπαστη αλυσίδα του λόγου. Αυτή η έμφαση στην απόδειξη επηρέασε καθοριστικά τη δυτική επιστημονική παράδοση.

  Αντίθετα, στα Ινδικά και Κινεζικά μαθηματικά η έμφαση δόθηκε συχνά στην εποπτική κατανόηση, στη χωρική αναπαράσταση και στην αποτελεσματικότητα των μεθόδων. Στην Κίνα, έργα όπως τα «Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης» χρησιμοποιούν διαγράμματα, πρακτικά προβλήματα και αλγοριθμικές διαδικασίες για να δείξουν γιατί ένα αποτέλεσμα λειτουργεί. Η «απόδειξη» δεν είναι πάντα ρητά λογική, αλλά ενσωματωμένη στη γεωμετρική διάταξη ή στη διαδικασία υπολογισμού.    Παρόμοια, στην Ινδία συναντάμε αποδείξεις που βασίζονται στη διαίσθηση και στη συμμετρία, όπως οι γεωμετρικές ερμηνείες αλγεβρικών ταυτοτήτων ή η χρήση σχημάτων για την κατανόηση σχέσεων μεταξύ μεγεθών.

Ο János Bolyaί και η γέννηση της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας

 

#Σανσημερα

Σαν σήμερα, το 1860, πέθανε ο János Bolyai.

Ο János Bolyai (1802–1860) υπήρξε μια από τις πιο συναρπαστικές και τραγικές μορφές στην ιστορία των μαθηματικών. Γεννήθηκε στο Τρανσυλβανικό Κολόζβαρ και μεγάλωσε στη σκιά ενός μεγάλου πνευματικού πάθους: του πατέρα του, Farkas Bolyai, ο οποίος είχε αφιερώσει τη ζωή του στην απόδειξη του αξιώματος των παραλλήλων του Ευκλείδη. Από πολύ νωρίς, ο János έδειξε εξαιρετικό ταλέντο· ήταν παιδί-θαύμα στα μαθηματικά, αλλά και χαρισματικός μουσικός, δεξιοτέχνης του βιολιού.

Θαλασσινός γρίφος Λογικής

 

Ο Δαίμων του Laplace

 

Φαντάσου ότι υπάρχει ένα υποθετικό πλάσμα με απίστευτη νοημοσύνη. Ένα πλάσμα που, αν γνώριζε ακριβώς πού βρίσκεται και πώς κινείται κάθε σωματίδιο στο σύμπαν, θα μπορούσε να προβλέψει τα πάντα: τι συνέβη στο παρελθόν και τι θα συμβεί στο μέλλον.

Το Τελευταίο Θεώρημα: Η Ζωή και το Τέλος του Φέλιξ Χάουσντορφ

 #Σανσημερα

Σαν σήμερα, το 1942, στην Ναζιστική Γερμανία αυτοκτονεί ο μαθηματικός  Φέλιξ Χάουσντορφ

  Ο Φέλιξ Χάουσντορφ(*) (1868 – 1942) εργάστηκε στον τομέα της τοπολογίας, δημιουργώντας μια θεωρία των τοπολογικών και μετρικών χώρων. Ασχολήθηκε επίσης με τη θεωρία συνόλων και εισήγαγε την έννοια του μερικώς διατεταγμένου συνόλου. Ως Εβραίος, η θέση του έγινε ολοένα και πιο δύσκολη. Το 1941 είχε προγραμματιστεί να σταλεί σε στρατόπεδο εγκλεισμού, αλλά κατάφερε να αποφύγει τη μεταφορά. Το Πανεπιστήμιο της Βόννης ζήτησε να επιτραπεί στον Χάουσντορφ και τη σύζυγό του να παραμείνουν στο σπίτι τους, και το αίτημα έγινε δεκτό.

Μαθηματικά εδώδιμα

 

Οπτικός τηλέγραφος

 

«Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη»

«Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη»

   Μια μέρα, ο μαθηματικός Σίζουο Κακουτάνι (*), γνωστός για τη διατύπωση του θεωρήματος σταθερού σημείου που χρησιμοποίησε και ο Τζον Νας στην περιγραφή των ισορροπιών Νας, έδινε μια διάλεξη στο Γέιλ.

Κάποια στιγμή έγραψε στον πίνακα ένα λήμμα και είπε ότι η απόδειξή του ήταν τετριμμένη. Ένας φοιτητής σήκωσε διστακτικά το χέρι του και είπε ότι δεν του φαινόταν προφανές, ρωτώντας αν θα μπορούσε να το αποδείξει. Μετά από λίγες στιγμές σιωπής, ο Κακουτάνι συνειδητοποίησε ότι δεν ήταν σε θέση να δώσει την απόδειξη, ζήτησε συγγνώμη και είπε ότι θα κάλυπτε το θέμα στην επόμενη διάλεξη.

Πιθανότητα

 

Εμβαδόν

 

Παλίνδρομος

 

Ο Χίλμπερτ και ο Γκέντελ — η ειρωνεία της Ιστορίας

 

Σαν σήμερα, το 1862, γεννήθηκε ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (1862 – 1943).

Το 1930, στο συνέδριο της Κένιξμπεργκ, ο Χίλμπερτ(*) ανέβηκε στο βήμα γεμάτος αυτοπεποίθηση. Ήταν ήδη θρύλος. Κλείνοντας την ομιλία του, ύψωσε σχεδόν το χέρι σαν να έδινε όρκο και διακήρυξε τη φράση που έγινε σύμβολο της εποχής:

«Wir müssen wissen. Wir werden wissen.»

(Πρέπει να γνωρίζουμε. Και θα γνωρίσουμε.)

Ιδιαιτερότητες του απείρου

 

Ιδιαιτερότητες του απείρου

  Ο Μάγος Κέρλιν διαθέτει άπειρα χρυσά κέρματα έχει στον κήπο του μια λίμνη, όπου ζει μια γοργόνα. Για διασκέδαση, παίζει μαζί της ένα αλλόκοτο παιχνίδι με χρυσά νομίσματα. Κάθε λεπτό ο μάγος ρίχνει στη λίμνη δύο νομίσματα· μισό λεπτό αργότερα, η γοργόνα τού επιστρέφει ένα. Το παιχνίδι συνεχίζεται αδιάκοπα, χωρίς τέλος. Για να μπορούμε να παρακολουθούμε τι συμβαίνει, αριθμούμε όλα τα νομίσματα: 1, 2, 3, 4, 5, …

Κωνικές τομές

 Ο Μέναιχμος ήταν ένας από τους σημαντικότερους Έλληνες μαθηματικούς του 4ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται ο ιδρυτής της θεωρίας των κωνικών τομών. Γεννήθηκε πιθανότατα γύρω στο 380 π.Χ. και έδρασε σε μια περίοδο έντονης μαθηματικής και φιλοσοφικής άνθησης.

Υπήρξε μαθητής του Ευδόξου του Κνίδιου, ενός από τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής, και συνδέθηκε στενά με την Πλατωνική Ακαδημία στην Αθήνα. Οι πηγές αναφέρουν ότι δίδαξε τον Μέγα Αλέξανδρο στα νεανικά του χρόνια, γεγονός που δείχνει το κύρος και την αναγνώρισή του.

Η σπουδαιότερη συμβολή του Μέναιχμου ήταν η εισαγωγή και συστηματική μελέτη των κωνικών τομών. Μελετώντας τις τομές ενός ορθού κυκλικού κώνου από επίπεδα, αναγνώρισε καμπύλες που σήμερα ονομάζουμε έλλειψη, παραβολή και υπερβολή (αν και τα ονόματα καθιερώθηκαν αργότερα). Χρησιμοποίησε αυτές τις καμπύλες για να επιλύσει το κλασικό γεωμετρικό πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, εισάγοντας μια εντελώς νέα γεωμετρική προσέγγιση.

Κανένα έργο του δεν έχει σωθεί αυτούσιο· ωστόσο, η επιρροή του είναι γνωστή μέσα από αναφορές μεταγενέστερων μαθηματικών, κυρίως του Απολλώνιου του Περγαίου, ο οποίος ανέπτυξε συστηματικά τη θεωρία των κωνικών τομών βασιζόμενος στα θεμέλια που έθεσε ο Μέναιχμος.

Ο Μέναιχμος κατέχει ξεχωριστή θέση στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς άνοιξε τον δρόμο για τη μελέτη καμπυλών και συνέβαλε καθοριστικά στη μετάβαση από την καθαρά ευκλείδεια γεωμετρία σε πιο σύνθετες γεωμετρικές έννοιες που επηρέασαν βαθιά τη μεταγενέστερη επιστήμη.

Ένα μάθημα ζωής από τον Πάμπλο Πικάσο

 

Διδακτορικό σε ένα μπαρ

         

Ένα από τα πιο γοητευτικά ανέκδοτα της μαθηματικής παράδοσης θέλει τον Στέφαν Μπάναχ —μία από τις πιο σημαντικές  μορφές των μαθηματικών του 20ού αιώνα— να αδιαφορεί πλήρως για τη συγγραφή της διδακτορικής του διατριβής. Όχι από τεμπελιά, αλλά επειδή το μυαλό του ήταν διαρκώς απορροφημένο από κάτι πολύ πιο δελεαστικό: την ανακάλυψη νέων, θεμελιωδών αποτελεσμάτων.

«Αϊ ρε», Το Hip Hop του δασκάλου

 

Το περπάτημα του μεθυσμένου και το μυρμήγκι του Πόλια

 

"Ένας μεθυσμένος άντρας θα βρει τον δρόμο για το σπίτι του.

Ένα μεθυσμένο πουλί, όμως, μπορεί να χαθεί για πάντα."

  Σε παλιές αμερικανικές ταινίες –αυτές με τους τροχονόμους, τα καπέλα και τα αυστηρά βλέμματα– υπάρχει ένα κλασικό τεστ για τον εντοπισμό των μεθυσμένων οδηγών: ο ύποπτος καλείται να περπατήσει σε ευθεία γραμμή. Μια δοκιμασία απλή, σχεδόν προσβλητική για έναν νηφάλιο άνθρωπο. Για έναν άνθρωπο όμως που έχει έρθει σε στενή επαφή με το ουίσκι, η «ευθεία» μετατρέπεται σε αφηρημένη μαθηματική έννοια.

Ημικύκλια

 

0-9

 

Ιδιοφυΐα και σκιά: Η αμφιλεγόμενη κληρονομιά του Φράνσις Γκάλτον

                 

Σαν σήμερα, το 1911, πέθανε ο  Σερ Φράνσις Γκάλτον.

Ο Σερ Φράνσις Γκάλτον (16 Φεβρουαρίου 1822 – 17 Ιανουαρίου 1911) υπήρξε μια από τις πιο ανήσυχες, ιδιοφυείς αλλά και αντιφατικές μορφές της βικτωριανής Αγγλίας. Ξάδελφος του Κάρολου Δαρβίνου, μεγάλωσε σε ένα περιβάλλον όπου η επιστήμη, η παρατήρηση και η φιλοδοξία για κατανόηση του κόσμου αποτελούσαν καθημερινότητα. Από παιδί θεωρούνταν «παιδί-θαύμα»: διάβαζε λατινικά σε ηλικία πέντε ετών και έκανε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς πριν καν φοιτήσει σε πανεπιστήμιο.

3500

 

Johannes Schöner: Ο Άνθρωπος που Χαρτογράφησε τον Νέο Κόσμο

 #Σανσημερα

Σαν σήμερα, το 1477, γεννήθηκε ο Johannes Schöner.

Ο Johannes Schöner (16 Ιανουαρίου 1477 – 16 Ιανουαρίου 1547) ήταν Γερμανός λόγιος της Αναγέννησης, γνωστός κυρίως για την κατασκευή και την εκτύπωση γεωγραφικών υδρογείων σφαιρών. Στα σύγχρονα συμφραζόμενα χαρακτηρίζεται συχνά ως γεωγράφος ή μαθηματικός· ωστόσο, είναι ιστορικά ακριβέστερο να αναφέρεται κανείς σε αυτόν με τον συνήθη λατινικό όρο του 16ου αιώνα mathematicus. Ο όρος αυτός δεν δήλωνε ειδικό των αφηρημένων μαθηματικών, αλλά έναν λόγιο που ασχολούνταν με το ενιαίο τότε σύνολο των mathematica, το οποίο περιελάμβανε την αστρονομία, την αστρολογία, τη γεωγραφία, τη χαρτογραφία, την κοσμογραφία, καθώς και την κατασκευή υδρογείων σφαιρών και επιστημονικών οργάνων.

Edward Teller: Ο Άνθρωπος πίσω από τη Βόμβα Υδρογόνου

 

#Σανσημερα

Γεννήθηκε ο φυσικός Edward Teller

   «Η φυσική δεν είναι απλώς γνώση· είναι τρόπος σκέψης.»

                                                                Edward Teller

  Ο Edward Teller (1908 –  2003) γεννήθηκε στην Ουγγαρία το 1908 και από νωρίς φάνηκε η εξαιρετική του διανοητική ικανότητα. Σπούδασε φυσική στη Γερμανία, αλλά η άνοδος του ναζισμού τον ανάγκασε να φύγει το 1933, εγκαθιστώντας τον πρώτα στο Λονδίνο και αργότερα στην Ουάσινγκτον, D.C. Η ζωή του συνδύαζε επιστήμη και περιπέτεια· διηγούνταν πως κατά τη διάρκεια των σπουδών του στη Γερμανία περνούσε ατέλειωτες ώρες σε καφετέριες συζητώντας για θεωρίες του ατόμου, φλερτάροντας με τις πιο τολμηρές ιδέες της φυσικής.

ζυγισματα

 

Οπτικές

 

Παγκόσμια ημέρα λογικής

Ως παγκόσμια ημέρα λογικής έχει οριστεί, μετά από απόφαση της UNESCO, η 14η Ιανουαρίου . Πρόκειται για τη μέρα θανάτου του Kurt Gödel και γέννησης του Alfred Tarski, δύο διακεκριμένων μαθηματικών και φιλοσόφων που είχαν τεράστια επίδραση στην ανάπτυξη της λογικής τον 20ό αιώνα.

Ο Gödel μνημονεύεται περισσότερο για τα δύο θεωρήματά του για τη μη πληρότητα, που δημοσιεύθηκαν το 1931. O Tarskiι είναι περισσότερο γνωστός για το έργο του στην αλγεβρική λογική.

Κύριος στόχος της Παγκόσμιας Ημέρας Λογικής είναι να προσελκύσει την προσοχή των επιστημονικών κοινοτήτων και του ευρύτερου κοινού στην πνευματική ιστορία, την εννοιολογική σημασία και τις πρακτικές επιπτώσεις της λογικής.

Ένας μαθηματικός έπεσε σε μια λαγότρυπα και βγήκε αθάνατος

 

#Σανσημερα

Σαν σήμερα, το 1898, πέθανε ο Lewis Carroll (1832–1898).

Ο Charles Lutwidge Dodgson γεννήθηκε το 1832 στην Αγγλία, αλλά είχε την καλή πρόνοια να επινοήσει το ψευδώνυμο Lewis Carroll, γιατί δύσκολα φαντάζεται κανείς την Αλίκη να φωνάζει:

«Ο κύριος Dodgson! Ο κύριος Dodgson!»

Ήταν άνθρωπος πολλών ταλέντων: μαθηματικός με ειδίκευση στη Λογική, φωτογράφος, συγγραφέας, και γενικά κάποιος που μπορούσε να εξηγεί γιατί 1 + 1 = 2, αλλά προτιμούσε να αναρωτιέται αν ένας γάτος μπορεί να εξαφανιστεί αφήνοντας πίσω μόνο το χαμόγελό του.

ΚΛΙΜΑΚΕΣ