Πως διαβάζουμε μαθηματικά. Οδηγίες προς ναυτιλλομένους για την μελέτη των μαθηματικών.

Ερώτηση της δασκάλας «Γιατί 2+3 είναι ίσο με 3+2;»

Απάντηση των μαθητών «Γιατί και τα δυο  κάνουν 5.»

«Όχι»,τους επιτιμά η δασκάλα.«Η σωστή απάντηση είναι: Γιατί ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης!»

Απογοήτευση στο ακροατήριο.

Ερώτηση δεύτερη της δασκάλας:«Γιατί 9+2=11;»

Απάντηση αυθόρμητη των μαθητών  «Γιατί 9 και η 1 κάνουν 10 και 1 ακόμη κάνουν 11».

«Λάθος, λέει η δασκάλα: Η σωστή απάντηση βρίσκεται στον ορισμό του 2, δηλαδή      9+2=9+(1+1)=(9+1)+1=10+1=11»

  Τώρα οι μαθητές τρομοκρατήθηκαν για τα λάθη τους.                                                    

         Morris Kline  «Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Math»

   Συνήθως διαβάζω την εφημερίδα ανάποδα, ξεκινώ με τα αθλητικά, κατόπιν τον καιρό, στην συνέχεια μια αγαπημένη χιουμοριστική στήλη και στο τέλος το πρωτοσέλιδο και την επικαιρότητα.Καμιά φορά το ίδιο κάνω και με βιβλία που έχουν την μορφή λεξικού ή διατηρούν αυτοτελείς ενότητες. Όσο αφορά όμως τα μαθηματικά αυτή η άναρχη ανάγνωση είναι ολέθριο λάθος.

   Στα μαθηματικά και γενικά στις φυσικές επιστήμες, ο αναγνώστης, για να μπορεί να παρακολουθήσει βήμα βήμα το συλλογισμό με τον οποίο θεμελιώνεται κάθε μαθηματική έννοια  πρέπει να συμμετέχει ο ίδιος.Να πάρει μολύβι και χαρτί και  να επικεντρωθεί στην λεπτομέρεια,να ελέγξει υπολογισμούς να κάνει τα σχήματα.Δεν είναι απλά θέμα πιο αργού διαβάσματος αλλά συγκέντρωσης.Είχα έναν συμφοιτητή στο πανεπιστήμιο που στο πρώτο έτος στην αρχή του εξαμήνου ήθελε να διαβάσει απειροστικό λογισμό και το έκανε όπως έλεγε χωρίς να δίνει σημασία στις λεπτομέρειες, ήθελε να πιάσει αρχικά  την κεντρική ιδέα και στην συνέχεια να εμβαθύνει.Δεν πέρασε το μάθημα!

Για ποιο λόγο οι άνθρωποι δυσκολεύονται να μελετήσουν μαθηματικά; Απαιτείται αυστηρότητα, εμμονή στην λεπτομέρεια και στην ακρίβεια.Ακούγεται δύσκολο; Δεν υπάρχει άλλος τρόπος!

Πολύ συχνά ακούω από μαθητές την φράση «το έχω καταλάβει αλλά δεν μπορώ να το εκφράσω», δεν υπάρχει μεγαλύτερη πλάνη, δεν μπορούμε να εκφράσουμε συνήθως αυτά που δεν έχουμε κατανοήσει πλήρως.Ο Λαγκράνζ διάσημος Γάλλος μαθηματικός συνήθιζε να λέει: «Ένας μαθηματικός δεν έχει κατανοήσει εντελώς την εργασία του  μέχρι να είναι σίγουρος ότι μπορεί να  βγει στον δρόμο και να την εξηγήσει  αποτελεσματικώς στον πρώτο τυχόντα.»

 Τώρα που το σκέπτομαι υπάρχει και άλλη μια πολύ μεγάλη διαφορά στην ανάγνωση μιας εφημερίδας και στην μελέτη των μαθηματικών.

  Η πιο απλή  φράση «Σήμερα πήγα σχολείο», ακόμα και αν αφαιρέσω κάποια φωνήεντα «Σμρα πγα σχλιο» πάλι βγαίνει νόημα, στα μαθηματικά όμως κάθε σύμβολο μετράει. Δεν υπάρχει τίποτα περιττό και όλα τα σύμβολα έχουν την θέση τους.Για παράδειγμα, δείτε τέσσερις προτάσεις οι οποίες έχουν ακριβώς το ίδιο νόημα:

-Το τρία είναι ο θετικός αριθμός  ο όποιος αν  πολλαπλασιαστεί με το εαυτό του  δίνει αποτέλεσμα  εννέα.

-Τρία είναι ο θετικός αριθμός ο όποιος αν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει εννέα.

-3  είναι ο θετικός αριθμός το τετράγωνο του οποίου είναι 9.

-3 είναι η θετική ρίζα του 9.

-3=√9

 Η πρώτη πρόταση είναι συνηθισμένος πεζός λόγος, η πέμπτη είναι μαθηματικά, οι ενδιάμεσες τρεις προτάσεις διαβαθμίζονται από το χαλαρό ύφος της πρώτης φράσης στο αυστηρό λιτό και απέριττο ύφος της τελευταίας.

  Ανεξάρτητα όμως από την μελέτη του αντικείμενου των μαθηματικών αυτού καθ΄ αυτού, υπάρχουν άλλες δραστηριότητες οι oποιες βοηθούν.

-Η επίλυση ρεμπους, γρίφων και αναγραμματισμών.Καλλιεργούν την εύρεση συσχετισμών και την αναγνώριση μοτίβων.

-Στο διαδίκτυο υπάρχουν αξιόλογοι ιστότοποι που προσφέρουν διαδικτυακά μαθήματα δωρεάν.Τα αγαπημένο μου-για προφανείς αισθητικούς λόγους- είναι:
      https://www.youtube.com/channel/UCRGXV1QlxZ8aucmE45tRx8w   
      https://www.youtube.com/channel/UCy5ev9EE-u5Iwbt2NHrcayw

καθώς και το πιο γνωστό παγκοσμίως  https://www.khanacademy.org/

-Η ανάγνωση βιβλίων που εκλαικεύουν τα μαθηματικά και την λογική. Βιβλία του Σμούλιαν,του Φραμπέτι,του Γκάρντνερ.

-Η ανάγνωση αστυνομικών ιστοριών κάποιες από αυτές αποτελούν άριστη εφαρμογή της επαγωγικής λογικής.Ο Απόστολος Δοξιάδης ο γνωστός μαθηματικός και συγγραφέας έχει κάνει κάποιες εξαίρετες ομιλίες σχετικά στο Θαλης+Φιλοι.Αν δεν έχετε διαβάσει το χρυσό σκαραβαίο του Έντγκαρ  Άλαν Πόε ή τα έργα του Άρθουρ Κόναν Ντοιλ με τον Σέρλοκ Χολμς  πρέπει να το κάνετε άμεσα.(sic)

-Παιχνίδια στρατηγικής όπως το σκάκι, η ντάμα  ή ακόμα και το κινέζικο Go.

-Αν παίζετε παιχνίδια με τράπουλα προσπαθήστε να θυμάστε τα χαρτιά που πέρασαν.

-Αν έχετε πρόβλημα συγκέντρωσης, προσπαθήστε να εκτελείτε υπολογισμούς με το μυαλό καταργήστε εντελώς την αριθμομηχανή.Ότι δεν χρησιμοποιείται ατροφεί και το ίδιο ισχύει και για το μυαλό.

 Εν κατακλείδι αυτό που απαιτείται από οποιονδήποτε θέλει να μελετήσει μαθηματικά είναι μολύβι χαρτί, επιμονή και υπομονή.

  Βέβαια,το απόλυτο μυστικό για την εμβάθυνση σε κάθε αντικείμενο, το εκμυστηρεύεται ο ίδιος ο Αϊνστάιν (αν δεν είναι κάποιος από τους ψευδαϊνστάιν αφορισμούς.