Το πρόβλημα των Συρακουσών (εικασία Collatz)

  Καμιά φορά τα πιο απλά ερωτήματα είναι πολύ δύσκολο να απαντηθούν. Ας δούμε ένα διάσημο παράδειγμα .Ο καθένας μπορεί να το τσεκάρει χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί   ή ακόμα και ένα απλό υπολογιστή τσέπης .Είναι τόσο απλό στην διατύπωση εξαιρετικά δύσκολο όμως να αποδειχθεί .Το είδος του προβλήματος που  νομίζουμε ότι γνωρίζουμε την απάντηση αλλά δεν μπορούμε να το αποδείξουμε.


  Σκεφτείτε έναν θετικό ακέραιο  αριθμό ,όποιον εσείς θέλετε .Ακολουθείστε τώρα την εξής διαδικασία.

-Αν ο αριθμός  είναι άρτιος (ζυγός ) , διαιρέστε τον με το 2.

-Αν  ο αριθμός  είναι περιττός (μονός ), πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε το 1.

Παρατηρείστε το αποτέλεσμα.

Εγώ σκέφτηκα το 11.Ειναι περιττός , άρα  πολλαπλασιάζω με 3 και  προσθέτω 1 , ο επόμενος αριθμός είναι 3Χ11+1=34, ο 34 τώρα είναι άρτιος άρα διαιρώ με το 2  και έχω αποτέλεσμα 17.Ειανι περιττός και συνεχίζω τριπλασιάζοντας και προσθέτοντας την μοναδα,3Χ17+1=52 .Συνεχίζω την ιδία διαδικασία και οι αριθμοί που προκύπτουν είναι 26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.Από το σημείο αυτό και μετά έχουμε την επαναλαμβανόμενη ακολουθία  4,2,1,4,2,1,4,2,1…..

Άρα θεωρούμε ότι όταν φτάσουμε στο 1 σταματάμε.

Δείτε την αλυσίδα των αριθμών

11->43->17->52->26->13->40 ->20 ->10->5->16->8->4->2->1

   Το πρόβλημα τέθηκε το 1936  από τον μαθηματικό  Lothar Collatz, ο όποιος  αναρωτήθηκε:

«Θα καταλήγουμε πάντα στο 1 , από όποιον αριθμό και αν ξεκινήσουμε;».

 Ύστερα από  74 χρόνια ακόμα δεν γνωρίζουμε την απάντηση. Το πρόβλημα έχει πολλά ονόματα, «το πρόβλημα των Συρακουσών»,    «Εικασία Collatz»,  «πρόβλημα Ulam»  , «το πρόβλημα   3ν+1» . Εικάζουν οι μαθηματικοί ερευνητές ότι η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική .

Με την χρήση υπερυπολογιστων  κατόρθωσαν  να δείξουν ότι όλοι οι αριθμοί μέχρι τον 19Χ2^58 τελικά καταλήγουν στο 1. Δείτε ένα σχετικό βίντεο.