Αλ Χβαρίσμι,ο βιβλιοθηκάριος του οίκου της Σοφίας λύνει δευτεροβάθμιες εξισώσεις!

Σελίδα από το εγχειρίδιο Άλγεβρας  του Αλ Χβαρισμι.

  Ο άνθρωπος έμαθε να αναγνωρίζει και να χειρίζεται γεωμετρικά σχήματα πολύ πριν  μάθει να χρησιμοποιεί σύμβολα , μπορούσε να διακρίνει επίπεδα σχήματα έστω και  σε μια ασαφή φόρμα πολύ πριν δημιουργήσει την γλώσσα ,τον τρόπο γραφής και την αναπαράσταση με  γράμματα. Χρειάστηκε ωστόσο να περάσουν πολλές εκατοντάδες  χρόνια μέχρι να εξελιχθεί η Γεωμετρία στο ευέλικτο και εύχρηστο εργαλείο που διαθέτουμε σήμερα. 

    Ο Αμπου Τζαφαρ Μοχάμεντ Ιμπν Μούσα Αλ Χβαρίσμι, γεννήθηκε στην Βαγδάτη γύρω στα 780, την εποχή που στην Αραβική χερσόνησο δέσποζε η δυναστεία των Αββασιδών. Οι χαλίφηδες των Αββασιδών αφού  μετέφεραν την πρωτεύουσα της αυτοκρατορίας από την Δαμάσκο στην Βαγδάτη, θέλησαν να χτίσουν εκεί την καινούργια Αλεξάνδρεια  .Ίδρυσαν ένα αστεροσκοπείο , μια βιβλιοθήκη και ένα ερευνητικό κέντρο που το ονόμασαν  Μπαιτ αλ –χικμα( σπίτι της Σοφίας). Στο κέντρο αυτό ξεκίνησε μα προσπάθεια για την μετάφραση στα αραβικά όλης της πολύτιμης γνώσης της εποχής , συμπεριλαμβανόμενων και των έργων του Αρχιμήδη και του Ευκλείδη. Ο Αλ Χβαρισμι ήταν ένας βιβλιοθηκάριος   στον οίκο της σοφίας. 

        

 Ο λόγιος βιβλιοθηκάριος μελετώντας αυτά τα έργα  εξελίχτηκε σε σπουδαίο   μαθηματικό  και έγραψε το Χισαμπ αλ τζαμπρ γου’αλ μουκαπαλα.  (Σας φαίνεται κάτι οικείο  στο τίτλο του έργου;). Ήταν ένας πρακτικός μαθηματικός  που , όπως εξήγησε, το έργο  του δίδασκε  χρήσιμες δεξιότητες  σε απλούς ανθρώπους .  «…ότι είναι ευκολότερο και χρησιμότερο στην αριθμητική όσα χρειάζονται οι άνθρωποι στις περιπτώσεις δωρεάς , κληρονομιάς , διανομής , νομικής διεκδίκησης  και εμπορίου, στις μεταξύ τους  συναλλαγές και στην μέτρηση της γης, την διάνοιξη καναλιών , τους γεωμετρικούς υπολογισμούς και αλλά προβλήματα διαφόρων ειδών.»

   Ο Αλ Χβαρίσμι και οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις!!!

  Ο Αλ Χβαρισμι επικέντρωσε την προσοχή του στις εξισώσεις και στον τρόπο επίλυσης τους. Δεν χρησιμοποίησε κανέναν από τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούμε σήμερα. Για να εξηγήσει την μέθοδο του  , κατέφυγε σε λεκτικές περίγραφες και εικόνες. Για να απλοποιήσει τις εξισώσεις του , εφάρμοσε δυο μεθόδους: την αλτζαμπ ( συγκόλληση) και την αλ μουκαμπαλα (εξισορρόπηση).

   Ας δούμε ένα παράδειγμα επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης με την μέθοδο του Αλ Χβαρίσμι.

Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση     Χ²+8X-9=0 ή Χ²+8X=9  , Ποια είναι η τιμή του χ;     Ο Αλ Χβαρισμι θα την διατύπωνε εφόσον αγνοούσε τον σύγχρονο συμβολισμό ως εξής:

 «Έστω ένα τετράγωνο και 8 ρίζες που να ισούνται με 9 μονάδες .Το ερώτημα σε αυτό τον τύπο εξισώσεων είναι: "Ποιο είναι το τετράγωνο που αν προστεθεί σε 8 από τις ρίζες  του θα μας δώσει ένα άθροισμα 9;"

Ο Αλ Χβαρισμι θα ισχυριζόταν :

  Για να λύσουμε αυτό τον τύπο εξίσωσης θα πρέπει να πάρουμε το μισό πλήθος των ριζών που αναφέραμε. Εδω έχουμε 8,παιρνουμε λοιπόν 4, που αν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του θα κάνει 16,αριθμο που προσθέτουμε στο 9 και βρίσκουμε 25.Στην συνέχεια παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού, που είναι 5,αφαιρουμε το μισό των ριζών δηλαδή  4, και μας μένει 1.Ο αριθμός 1 είναι η ρίζα αυτού του τετραγώνου το όποιο είναι 1.Αρα το τετράγωνο είναι 1»

Δυσνόητο ε; Όμως ο Αλ Χβαρισμι έβγαζε νόημα γιατί σκεφτόταν γεωμετρικά ,ας ακολουθήσουμε  λοιπόν την σκέψη του .
Αρκεί  να σχεδιάσουμε μερικά τετράγωνα για να βρούμε την τιμή του χ.

Αρχικά πρέπει να σχεδιάσουμε το  τετράγωνο  που οι πλευρές του έχουν  μήκος Χ.
(σχήμα 1)

σχήμα 1

Το εμβαδόν του ισούται ΧxΧ ή  X²  .Για να σχεδιάσουμε τα ορθογώνια που έχουν συνολικό εμβαδόν 8Χ, πρέπει να προσθέσουμε  τέσσερα ορθογώνια με πλευρές Χ και 8/4=2, αφού   4● 2 ● Χ=8Χ.  Το πρόβλημα μας λέει ότι το συνολικό εμβαδόν του σχήματος είναι 9.(σχήμα 2)

σχήμα 2

Προσθέτουμε τώρα τέσσερα μικρά τετράγωνα με πλευρές 8/4  =2  για  να σχηματίσουμε ένα ενιαίο μεγάλο τετράγωνο. Γνωρίζουμε όμως ότι το εμβαδόν που πρέπει να προσθέσουμε είναι 16.Συνεπώς το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου  θα είναι 9+16=25  . (σχήμα 3)Για να βρούμε το μήκος μιας πλευράς  του μεγάλου τετραγώνου, θα πρέπει να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 25  που είναι 5 αφού 5x5=25.Τέλος γνωρίζουμε από το σχήμα ότι το μήκος της πλευράς είναι 8/4+χ+8/4=5

Με αλλά λόγια χ+4=5.Αρα η τιμή του χ πρέπει να είναι 1.