Η Google, το e και μια ιδιότυπη αγγελία πρόσληψης!

   Το 2004, η Google, η εταιρεία που δημιούργησε την πιο επιτυχημένη μηχανή αναζήτησης  στο διαδίκτυο, ανακοίνωσε την πρόθεση της να συγκεντρώσει χρήματα , ένα κεφάλαιο το οποίο θα χρησιμοποιούσε για την  μελλοντική  ανάπτυξη της. Το ποσό που ανακοίνωσε; 2.718.281.828 δισεκατομμύρια δολάρια.μΓιατί αυτό το συγκεκριμένο νούμερο;  Ήταν ένα μαθηματικό αστείο διότι αυτός ο αριθμός είναι γνωστός ως e.

Φαίνεται όμως ότι  οι άνθρωποι της Google  έχουν μια έμμονη με το e. Η εταιρεία ανάρτησε ένα παράξενο μήνυμα σε πίνακες ανακοινώσεων σε όλες τις Η.Π.Α . Ο πίνακας έγραφε:

   (first 10-digit prime found in consecutive digits  of e)

   ( ο πρώτος δεκαψήφιος "πρώτος  αριθμός" αποτελούμενος από διαδοχικά ψηφία του e ) 
 Υπενθυμίζουμε ότι  " πρώτος αριθμός " είναι ο θετικός ακέραιος που  διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και την μονάδα .

    Αυτοί που έλυναν τον γρίφο και επισκέπτονταν την αντίστοιχη ιστοσελίδα του διαδικτύου, έβρισκαν εκεί ένα ακόμα πιο δύσκολο γρίφο. Τελικά, μετά την λύση   όλων των συνακόλουθων γρίφων, έφτανε κάνεις σε μια σελίδα του διαδικτύου οπού η Google είχε μια αγγελία πρόσληψης για τους καλύτερους και εξυπνότερους ανθρώπους .Άνθρωποι οι οποίοι είχαν δώσει τα διαπιστευτήρια τους και είχαν αποδείξει τις ικανότητες τους ,και θα προσλαμβάνονταν ακόμα και αν δεν είχαν τα τυπικά προσόντα (π.χ ακαδημαϊκή μόρφωση).

  Για την ιστορία  ο ζητούμενος αριθμός  ήταν ο 7427466391. Oποιος τον έβρισκε  επισκεπτόταν την ηλεκτρονική διεύθυνση www. 7427466391.com. 

    Σε μια  επίδειξη  εκκεντρικού  χιούμορ ,ο διάσημος μαθηματικός  και προγραμματιστής Donald Knuth  έδινε  στις συνεχείς εκδόσεις του  δημοφιλούς προγράμματος  METAFONT που κατασκεύασε, αρίθμηση που βασιζόταν σε ψηφία του e .  

Οι εκδόσεις  του METAFONT  ήταν 2, 2.7, 2.71, 2.718.  Σε αντιδιαστολή με ένα άλλο πρόγραμμα που κατασκεύασε το ΤΕΧ όπου  η αρίθμηση των εκδόσεων του προσέγγιζε το π.

 

  Ποιος είναι στα αλήθεια ο e;

 Ο e είναι ένας από αυτούς τους μυστήριους αριθμούς  που βρίσκονται  παντού στα μαθηματικά.

   Μελετήθηκε αρχικά από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ και είναι επίσης γνωστός  ως αριθμός του Όιλερ. Ο ίδιος ο Όιλερ απέδειξε , το 1737 , πως αυτός ο αριθμός ήταν άρρητος δεν μπορεί να γραφεί δηλαδή υπό την μορφή κλάσματος .

Ο αριθμός e είναι το όριο:

                         

                                                  e=lim(1+1/n)ⁿ

                                                       n->+oo 

  

Ο Νεύτων απέδειξε ,το 1665, ότι:

                                e=1+x+x²/2! +x³/3!+………..

Υπολογίστηκε ότι αν  διαλέγουμε στην τύχη αριθμούς  ανάμεσα στο 0 και στο 1  μέχρις ότου το άθροισμα να ξεπεράσει το 1, τότε το  πλήθος των αναμενόμενων επιλογών είναι e.

   Η τιμή του μέχρι τα πρώτα 20 δεκαδικά ψηφία είναι 2,71828182845904523536. 

Είναι υπερβατικός αριθμός κατά συνέπεια, η δεκαδική ανάπτυξη του οδηγεί σε έναν άπειρο  μη περιοδικό  δεκαδικό αριθμό. Αρα δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή του,είτε με την μορφή κλάσματος είτε με την μορφή πεπερασμένου δεκαδικού αριθμού.

 Μια πολύ σημαντική εφαρμογή του αριθμού είναι  στον τύπο του σύνθετου τόκου.
Αν  δανειστούμε ένα αρχικό ποσό (Κ)  με ένα επιτόκιο (ε) και πρέπει να το ξεπληρώσουμε σε ν περιόδους  τότε ο τύπος  που δίνει το τελικό κεφάλαιο (ΤΠ) που θα καταβάλουμε είναι:
                    

                                                   ΤΠ=Κ(1+ε/100)^ν

  

Ο παραπάνω τύπος ονομάζεται τύπος του ανατοκισμού.

Για παράδειγμα αν δανειστούμε 1000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 20% .Τότε σε διάστημα 10 ετών θα πληρώσουμε:

ΤΠ=Κ(1+ε/100)^ν=1000x(1+0,20)¹⁰=1000x(1,2)¹⁰=1000 x 6,191736=6191,736    ευρώ

 
Πως όμως εμπλέκεται το e; Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:

 Λόγω οικονομικής κρίσης και έλλειψη μετρητού η τράπεζα “Tsifoutis bank” κάνει την εξής προσφορά για να προσελκύσει καταθέσεις . Όποιος  καταθέσει ένα εκατομμύριο  ευρώ για ένα χρόνο θα του δώσει επιτόκιο 100% και δυνατότητα ανατοκισμού για 1,2,3,….ν φορές όσες επιθυμεί ο καταθέτης. Μοιάζεi εξαιρετική πρόσφορα Θα μπορούσε  κάποιος  να καταθέσει 1 εκατομμύριο ευρώ και  να πάρει στο τέλος του χρόνου όσα χρήματα επιθυμεί αρκεί να τα ανατοκίσει πολλές φορές .  Όμως κάνει λάθος .

Το κεφάλαιο που καταθέτει είναι Κ=1 εκατομμύριο ευρώ.

Το επιτόκιο  είναι  Ε=100%=100/100=1.

Και ας πούμε ότι ανατοκίζει το ποσό  ν φορές .                                                                                  

 Από τον τύπο του ανατοκισμού: Τελικό κεφάλαιο= Κ(1+ε/100)^ν

-Όταν ν=1,(ανατοκισμός ανά έτος ) στο τέλος του χρόνου Θα πάρει: Π=1(1+1)¹ =2 εκατομμύρια ευρώ.

-Όταν ν=2,(ανατοκισμός ανά εξάμηνο) στο τέλος του χρόνου Θα πάρει :  Π=1(1+1/2)² =2,25 εκατομμύρια ευρώ.

-Όταν ν=3,(ανατοκισμός ανά τετράμηνο ) στο τέλος του χρόνου Θα πάρει : Π=1(1+1/3)³ =2,44 εκατομμύρια ευρώ.

-Όταν ν=4,(ανατοκισμός ανά τρίμηνο ) στο τέλος του χρόνου Θα πάρει:Π=1(1+1/4)⁴ =2,441406 εκατομμύρια ευρώ.

-Όταν ν=12, ,(ανατοκισμός ανά μήνα )στο τέλος του χρόνου Θα πάρει:  Π=1(1+1/5)⁵ =2,613035 εκατομμύρια ευρώ.

-Όταν ν=52,(ανατοκισμός ανά εβδομάδα ) στο τέλος του χρόνου Θα πάρει: Π=1(1+1/5)⁵ =2,704813 εκατομμύρια ευρώ.

                                           .

                                           .

                                           .

-Όταν ν= ν  στο τέλος του χρόνου Θα πάρει   Π=1(1+1/ν)^ν  εκατομμύρια ευρώ.

Όμως καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα   η ποσότητα (1+1/ν)^ν   « τείνει» να γίνει  ίση με το e , πιο τεχνικά θα λέγαμε:

                           lim(1+1/ν)^ν =2,718281 =e
                           ν->+οο

Άρα όσες φορές και να ανατοκίσουμε  το μεγαλύτερο ποσό που μπορούμε να πάρουμε είναι   Π=2,718281…=e  εκατομμύρια ευρώ.

Παρατηρούμε  ότι  όσο αυξάνεται το πλήθος ν των περιόδων αποπληρωμής είναι αναμενόμενο να αυξηθεί και το ποσό θα πληρώσουμε τελικά , άλλα αυξάνεται μέχρις ενός ορίου.