Υπό το μηδέν. Αρνητικοί αριθμοί, μια ιστορία προκατάληψης!

              

«Υπάρχουν τριών ειδών άνθρωποι: αυτοί που μπορούν να μετρούν και αυτοί που δεν μπορούν!»

                                                                                          Παλιό  ανέκδοτο

     

  Στην ηλικία των τεσσάρων ετών,ο Ούγγρος μαθηματικός Πωλ Έρντος έλεγε στην μητέρα του «Αν από το 100 αφαιρέσεις  το 250 τότε θα έχεις 150 κάτω από το 0.» Σε αυτή την ηλικία,ο Έρντος ήδη μπορούσε να πολλαπλασιάσει τριψήφιους και τετραψήφιους αριθμούς χωρίς μολύβι και χαρτί αλλά κανένας δεν τον είχε διδάξει για τους αρνητικούς αριθμούς. «Ήταν μια ανεξάρτητη ανακάλυψη!» του άρεσε να διηγείται στους φίλους του, πολλά χρόνια αργότερα.

 Ο Έρντος μεγάλωσε και πήρε την θέση του ανάμεσα στο πάνθεο των θρυλικών μαθηματικών, αλλά όπως μπορεί να βεβαιώσει και ο μαθηματικός της γειτονιάς  σας, πολλά παιδιά στις μικρές τάξεις του γυμνάσιου που δεν είχαν τη τύχη να προικιστούν με το ταλέντο του Ερντος αναρωτιούνται:

« πως συνεχίζει η ακολουθία 8,7,6,5,4,3,2,1,0….;»και συνεχίζουν με απορία «1 λιγότερο από το τίποτα!!».ή « μείον 1 ,μείον 2 ,…».

  Ποιος μπορεί να μεμφτεί όμως τα παιδιά; Ελάτε στην θέση τους. Ακόμα και σαν ενήλικες είναι δεδομένο ότι καλούμαστε να χειριστούμε ακέραιους αριθμούς, κλάσματα, δεκαδικούς, ποσοτικές εκτιμήσεις, προσεγγίσεις αριθμών, ποσοστά. Μεγέθη που εκφράζονται με τεράστιους αριθμούς  όπως οι αποστάσεις των πλανητών η απειροελάχιστους αριθμούς όπως η διάμετρος νανοσωματιδιων. Δεν ήταν όμως πάντα έτσι.

     Πριν από αρκετούς αιώνες  οι αριθμοί ήταν πολύ-πολύ μικρότεροι, για να γίνω σαφέστερος θα δανειστώ ένα παράδειγμα από τους αρχαίους Έλληνες. Όταν οι πρόγονοι μας ήθελαν να εκφράσουν το τεράστιο μέγεθος μιας στρατιάς έλεγαν την λέξη «μυριάδες».Μια μυριάδα ισούται με 10000 μονάδες, αριθμός πολύ μικρός σε σχέση με την σύγχρονη πραγματικότητα καθώς ακόμα και οι  φίλαθλοι σε ένα ποδοσφαιρικό ντέρμπι γεμίζουν ένα γήπεδο πολλών «μυριάδων».

    Τα κλάσματα από την άλλη έφταναν μέχρι το 1/12.Οι έμποροι απέφευγαν–δεν τις χρειάζονταν άλλωστε – τις πολύ μικρές υποδιαιρέσεις. Η έννοια του απείρου, αριθμών που μεγάλωναν χωρίς όρια αποτελούσε αντικείμενο μεταφυσικών προσεγγίσεων όταν αναφερόταν στην μεγαλοσύνη του Θεού, αστρονόμων που προσπαθούσαν να φανταστούν την απεραντοσύνη του  σύμπαντος ακόμα και μαθηματικών όπως ο Αρχιμήδης ο οποίος προσπάθησε να υπολογίσει την περίμετρο ενός κύκλου προσεγγίζονταν με εγγεγραμμένα πολύγωνα  το πλήθος των πλευρών μεγάλωνε απεριόριστα ή εκτιμούσε το πλήθος των κόκκων άμμου που  απαιτείται  για να γεμίσει το σύμπαν.

    Σε εκείνες τις εποχές οι περισσότεροι άνθρωποι ξεκινούσαν το μέτρημα από το 1 και έφταναν όσο τους επέτρεπε η  καθημερινή εμπειρία τους. Το πλήθος των  κοπαδιών τους ,τα χρηματικά ποσά  με τα οποία συναλλάσσονταν. Για παράδειγμα ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του φαντάζονταν τους αριθμούς σαν αντικείμενα στερεά και συμπαγή  που  έβρισκαν την έκφραση τους στον πραγματικό κόσμο. Ένας αριθμός ήταν πάντα ένας αριθμός από αντικείμενα. Οι έμποροι χρησιμοποιούσαν τους αριθμούς για να μετρούν  πράγματα. Για τους Έλληνες της ύστερης αρχαιότητας οι αριθμοί εξέφραζαν μήκη  ευθύγραμμων τμημάτων, εμβαδά επίπεδων σχημάτων η όγκους στερεών. Πως  θα μπορούσαν λοιπόν να φανταστούν αριθμούς κάτω από το 0.Παρ ότι εξαιρετικά διορατικοί, όσοι από αυτούς «έπεσαν πάνω» σε αρνητικούς αριθμούς,τους αγνόησαν. Χαρακτηριστικό  παράδειγμα, ο Διόφαντος ,ο πρωτοπόρος Έλληνας μαθηματικός στην θεωρία αριθμών ο οποίος είχε την τύχη ή την ατυχία να σκέπτεται «γεωμετρικά». Όταν λοιπόν σε κάποιες εξισώσεις έβρισκε μια θετική και μια αρνητική λύση, απέρριπτε την αρνητική διότι πολύ απλά για αυτόν δεν είχε νόημα. Αν πάλι μια εξίσωση τύχαινε να έχει μόνο αρνητική τιμή όπως η x+25=20 τότε την απέρριπτε θεωρώντας ότι δεν αποτελεί  κανονική εξίσωση.

    Προφανώς και ήταν ατυχία για ένα μαθηματικό της θεωρίας αριθμών να γεννηθεί στην αρχαία Ελλάδα, η ισχυρή γεωμετρική οπτική των Αρχαίων Ελλήνων αποτελούσε μεγάλη τροχοπέδη, γεγονός που δεν ίσχυε για τους Ινδούς.Οι Ινδοί αποδέχτηκαν τους αρνητικούς αριθμούς καθώς επίσης και τις πράξεις ανάμεσα σε θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. Οι Κινέζοι ανεξάρτητα έδωσαν υλική υπόσταση στους αρνητικούς αριθμούς όταν από τον 12^οαιώνα χρησιμοποιούσαν κόκκινα ραβδιά  για τις αρνητικές ποσότητες και μαύρα ραβδιά για τις θετικές, το ακριβές ανάλογο των καταθέσεων και των χρεών στο τραπεζικό μας σύστημα , παρ όλα αυτά δεν αποδέχτηκαν της αρνητικές λύσεις στις εξισώσεις. Κανένας δεν είναι τέλειος!

     Δεν αρκεί όμως η αποδοχή των αρνητικών αριθμών.Όπως πολύ καλά γνωρίζει όποιος έχει διδάξει άλγεβρα σε παιδιά ,απαιτείται ένα μεγάλο νοητικό άλμα από τους μαθητές για να περάσουν από την έννοια του αρνητικού αριθμού  ως μέτρημα από το μηδέν και κάτω στους κανόνες που διέπουν τις αριθμητικές  πράξεις. Ο Γάλλος συγγραφέας Σταντάλ στις αρχές του 19^ου  αιώνα έγραφε:

  «Κατά την άποψη μου  η υποκρισία ήταν αδύνατη στα μαθηματικά. Εξεπλάγην όταν ανακάλυψα ότι κανείς δεν μπορούσε  να μου εξηγήσει  πως γίνεται μείον επί μείον να ισούται με συν!!»

                        
  Γιατί ισχύει για παράδειγμα (-2) x (-10)=20;  
  Φανταστείτε ότι  οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν  χρήματα στην τράπεζα  και πιο συγκεκριμένα οι θετικοί αριθμοί στα χρήματα που έχεις ,ενώ οι αρνητικοί στα χρήματα που οφείλεις στην τράπεζα. Το -10 σημαίνει ότι χρωστάς  10 ευρώ όποτε 2x(-10) σημαίνει δυο χρέη των 10 ευρώ, δηλαδή ένα συνολικό χρέος 20 ευρώ. Συνεπώς  2x(-10)=-20.Τι συμβαίνει όμως με το (-2)χ(-10); Απλώς είναι εκείνο που παίρνεις  όταν η τράπεζα σου χαρίζει 2 χρέη των 10 ευρώ. Αν συμβαίνει κάτι τέτοιο , τότε κερδίζεις 20 ευρώ. Άρα (-2) x (-10) = +20. 
                         

Ένα παράδειγμα που βρήκα στο mathematica
Συμβολίζω με ( +) τον φίλο και με (-) τον εχθρό, οπότε:
Ο φίλος του φίλου= φίλος δηλαδή (+ ).(+)=(+)
Ο φίλος του εχθρού= εχθρός δηλαδή (+).(-)=(-)
Ο εχθρός του φίλου= εχθρός δηλαδή (-).(+)=(-)
Ο εχθρός του εχθρού= φίλος δηλαδή (-).(-)=(+

 Εύυποληψία

    Από την περιοδική έκδοση Mathematics Teacher και τον R. Mwajombe,μια  γλαφυρή  "απόδειξη" γιατί ισχύει:  (-)*(-)=(+)

  

    Σε μια πόλη ζουν ευυπόληπτοι και μη ευυπόληπτοι άνθρωποι. Κάθε ευυπόληπτος ή μη  άνθρωπος μπορεί να έρχεται ή να φεύγει από την πόλη οπότε θέλει. Οι ευυπόληπτοι άνθρωποι έχουν το πρόσημο(+) ενώ οι μη ευυπόληπτοι το πρόσημο(-). Όταν ένας ευυπόληπτος άνθρωπος φεύγει από την πόλη  τότε το κύρος της πόλης  ελαττώνεται ( -) , ενώ όταν ένας ευυπόληπτος  άνθρωπος  φτάνει στην πόλη το κύρος της πόλης αυξάνεται(+). Ανάλογα όταν ένας μη ευυπόληπτος άνθρωπος  φεύγει από την πολη το κύρος της πόλης  αυξάνεται(+), ενώ όταν έρχεται το κύρος της πόλης μειώνεται(-) .

Συνοπτικά:

                               

                             

   Όσο αφορά τον συμβολισμό των πρόσημων πλην(-) και συν (+) τον οφείλουμε σε εμπόρους. Χρησιμοποιήθηκαν τον  15^ο αιώνα στην Γερμανία (τυχαίο;;)  σε αποθήκες με εμπορεύματα, όταν τα κοντέινερ της εποχής είχαν περισσότερο ή λιγότερο φορτίο από το  προβλεπόμενο. Η πλήρης αποδοχή των αρνητικών αριθμών έγινε πολύ αργότερα, μετά την αναγέννηση, ενώ ξενίζει  το γεγονός ότι ακόμα και  μαθηματικοί κολοσσοί όπως ο Καρτέσιος και ο Πασκάλ τους χαρακτήρισαν  «αφηρημένους» η  «φανταστικούς κάτω από το μηδέν» όντας εξαιρετικά  επιφυλακτικοί. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ο Αντουάν Αρνό, φίλος του Πασκάλ ,ο όποιος με παρρησία ισχυριζόταν: «Αν οι αρνητικοί αριθμοί  υπάρχουν, τότε ο λόγος 1/-1 ισούται με το λόγο -1/1 που σημαίνει ότι το κλάσμα μια μικρής ποσότητας προς μια μεγαλύτερη ισούται με το κλάσμα μιας μεγάλης ποσότητας προς μια μικρότερη  γεγονός που είναι αδύνατο.» Εικασία που μπορεί να καταρρίψει ακόμα και ένας μαθητής λυκείου αν το σκεφτεί προσεκτικά.

    Τελικά, οι αρνητικοί αριθμοί πήραν την θέση τους στο πάνθεο των μαθηματικών εννοιών, ας είναι λοιπόν οι μικροί μαθητές περισσότερο υπομονετικοί όταν τους συναντήσουν για πρώτη φορά…