Ευρετική...για αρχάριους

 -"Τώρα αυτό πως λύνεται;"

  Η πιο συνηθισμένη  ερώτηση μαθητή σε σχολική τάξη.  Όλοι οι καθηγητές  μαθηματικών μπορούν να σας  βεβαιώσουν την αμηχανία των μαθητών όταν  τους τεθεί ένα μαθηματικό  πρόβλημα. Η πλειοψηφία των μαθητών αδυνατεί όχι μόνο να τα λύσει αλλά ακόμα και να κατανοήσει ποια είναι τα δεδομένα και τα ζητούμενα. 
Η κύρια αίτια για την αδυναμία τους αυτή είναι ο  πάγιος μύθος ότι η μαθηματική ικανότητα  και αντίληψη  δεν μαθαίνεται. Μύθο στον οποίο βρίσκουν καταφύγιο πολλοί μαθητές επικαλούμενοι ότι «δεν παίρνουν τα μαθηματικά» ή όπως χαρακτηριστικά σχολίασε μια μαθήτρια μου  «απλά δεν το ‘χω». Τίποτα δεν βρίσκεται  μακρύτερα από την αλήθεια. Η μαθηματική αντίληψη είναι μια δεξιότητα  η οποία μπορεί να  καλλιεργηθεί ,η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι απαιτείται πείσμα, επιμονή  και κυρίως σωστή καθοδήγηση από πλευράς εκπαιδευτικού. Όπως  τονίζει με έμφαση ο  μαθηματικός Ιαν Στιούαρτ: «Ένας καλός δάσκαλος αξίζει το βάρος του σε χρυσάφι». Στόχος λοιπόν της παρούσας ανάρτησης  είναι η μύηση  στις βασικές αρχές της ευρετικής (problem solving) της διαδικασίας εκείνης την οποία εφαρμόζουμε είτε συνειδητά είτε ασυνείδητα προκειμένου να λύσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα .

      Το 1945, ο Ούγγρος μαθηματικός Τζώρτζ Πόλυα  έγραψε ένα μικρό βιβλίο με τίτλο «Πώς να το λύσω». Έκτοτε αυτό  το  μικρό βιβλίο έγινε ένα από τα πιο πολυδιαβασμένα βιβλία μαθηματικών και όχι άδικα. Πρόκειται για ένα πρακτικό οδηγό επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με έμφαση  στις στρατηγικές επίλυσης εμπλουτισμένο με λυμένα παραδείγματα.

 Ο Πόλυα  παραθέτει πολύ εύληπτα και παραστατικά μια διαδικασία τεσσάρων φάσεων η οποία  οργανώνει την διαδικασία επίλυσης. Δεν πρόκειται για συγκεκριμένα βήματα που εφαρμόζονται σε κάθε πρόβλημα αλλά για ένα γενικό σύνολο οδηγιών. Ένα γενικό πλάνο, φανταστείτε ένα σπίτι τεσσάρων δωματίων  η διαδικασία του  Πόλυα υποδεικνύει την σειρά με την οποία θα επισκεφτείτε τα δωμάτια αλλά όχι τι ακριβώς θα κάνετε στα δωμάτια.

Ας δούμε τα τέσσερα βήματα που προτείνει:

1.Κατανόηση του προβλήματος

Το πρώτο βήμα είναι να καθορίσεις που πηγαίνεις. Πρέπει να βεβαιωθείς  τι ζητεί το πρόβλημα.

● Διάβασε το πρόβλημα προσεκτικά .Αν σε βοηθάει περισσότερο διάβασε το δυνατά!

● Κατέγραψε τις ποσότητες και τις συνθήκες που σου δίνονται ( δεδομένα του προβλήματος)

● Αναγνώρισε τις  άγνωστες  ποσότητες. Τι ακριβώς πρέπει να  βρεις .

● Ένα σχήμα θα σε βοηθήσει να  οργανώσεις  όλες τις πληροφορίες και να οπτικοποιησεις το πρόβλημα.

● Αν είναι εύκολο ,διατύπωσε το πρόβλημα με δικά σου λόγια για να είσαι σίγουρος ότι το κατανόησες.

2.Κατάστρωσε μια στρατηγική για την επίλυση  του προβλήματος

Άπαξ και κατανοήσεις  το πρόβλημα πρέπει να αποφασίσεις  πως θα το λύσεις .Αυτό είναι το δυσκολότερο βήμα, απαιτεί φαντασία , δημιουργικότητα  και εμπειρία.

● Προσπάθησε να σκεφτείς ένα ανάλογο η παρόμοιο πρόβλημα.

● Σχεδίασε την στρατηγική επίλυσης  με ένα διάγραμμα ροής.

● Προσπάθησε να διασαφηνίσεις τις  αναλυτικές η υπολογιστικές τεχνικές που θα χρησιμοποιήσεις.

3.Εκτέλεσε την στρατηγική  του δευτέρου βήματος

Εφόσον αποφάσισες να χρησιμοποιήσεις μια συγκεκριμένη στρατηγική πρέπει  πρώτα να την εκτελέσεις .

● εκτέλεσε με προσοχή κάθε βήμα και διπλοτσέκαρε το, για να αποφύγεις λάθη.

● αν κατά την εκτέλεση  κολλήσεις πρέπει να γυρίσεις στο δεύτερο βήμα.

4.'Ελεγχος της λύσης

Το ξέρω ότι είναι πειρασμός να σταματήσεις  στο βήμα 3  αλλά  το τελευταίο βήμα είναι το πιο κρίσιμο.

● Έλεγξε ότι το  αποτέλεσμα έχει νόημα. Αν για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα  το αποτέλεσμα είναι πλήθος ημερών δεν μπορεί να είναι δεκαδικός ή αρνητικός αριθμός .

● Ξανατσέκαρε όλα τα υπολογιστικά βήματα  ή αν είναι  δυνατόν έλεγξε με έναν ανεξάρτητο τρόπο τα αποτελέσματα .

● Γράψε την λύση αναλυτικά και με σαφήνεια.

Η διαδικασία του Πόλυα  συνοψίζεται : Κατανόηση, σχεδιασμός, εκτέλεση, έλεγχος .Καθένα από τα βήματα  είναι σημαντικό και πρέπει να εφαρμόζεται.                                    Μερικά παραδείγματα που θα διασαφηνίσουν τα παραπάνω.

 

Παράδειγμα 1

Ένα λεωφορείο με κατεύθυνση το Χαλάνδρι το όποιο στην αφετηρία έχει επιβιβάσει 5 άντρες και 4 γυναίκες ,στην  πρώτη στάση ανεβαίνουν 2 άνδρες  αποβιβάζονται  3 γυναίκες  στην δεύτερη  στάση επιβιβάζονται 4 γυναίκες και επιβιβάζονται 5 άνδρες  και στην τρίτη στάση  επιβιβάζονται 6 γυναίκες και αποβιβάζονται  3 άνδρες. Ποιος ήταν ο προορισμός του λεωφορείου .

Αν είχατε ήδη αρχίσει να υπολογίζετε, προσοχή:

‘’Ποτέ δεν αρχίζεις να λύνεις ένα πρόβλημα αν δεν διαβάσεις όλη την εκφώνηση!!’’

Αυτονόητο; Δεν έχετε την παραμικρή ιδέα για το πόσοι άνθρωποι  αγνοούν το ..αυτονόητο .

Παράδειγμα 2

«Κάποτε γέμισα ένα δοχείο με μπισκότα για να δώσω στα ανίψια μου. Στην αρχή πλησίασε  ο πιο μεγάλος ο Γιώργος και έφαγε τα μισά μπισκότα  και ένα ακόμη. Μετά ήρθε ο δεύτερος ο  Νίκος  και έφαγε τα μισά μπισκότα και ένα ακόμη. Ύστερα ήρθε η Τασούλα  και έκανε το ίδιο ,έφαγε τα μισά και ένα ακόμα. Το τέταρτο από τα ανίψια μου  ο Γιάννης  έφαγε τα μισά από όσα βρήκε  και ένα ακόμη  οπότε τα μπισκότα τελείωσαν . Πόσα μπισκότα έβαλα αρχικά στο δοχείο.»

1. ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Καταγράφουμε τα  κύρια στοιχεία του προβλήματος

-  Αρχικά έχουμε έναν αριθμό μπισκότων τον όποιο και ζητούμε να υπολογίσουμε .     

 - Το κάθε παιδί τρώει τα μισά μπισκότα και ένα ακόμη μέχρι που τελειώνουν.

 -  Τα παιδιά είναι 4.  

2. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ

Θα δουλέψουμε αντίστροφα ξεκινώντας από το πόσα μπισκότα έφαγε το τελευταίο παιδί και θα φτάσουμε στο αρχικό πλήθος.     

         

3.ΕΠΙΛΥΣΗ

Σκεφτόμαστε ότι  αν το τέταρτο παιδί έφαγε τα μισά και ένα ακόμη και τελείωσαν τότε έφαγε σίγουρα 2 μπισκότα. Δουλεύοντας αντίστροφα  το τρίτο παιδί έφαγε επίσης τα μισά και ένα ακόμη άρα  έφαγε 2+1=3 μπισκότα άρα πριν έρθει στο κουτί ήταν 2x3 =6 μπισκότα. Ο δεύτερος επίσης έφαγε τα μισά και ένα  ακόμη άρα  έφαγε 6+1=7, όποτε στο κουτί ήταν πριν έρθει 2x7=14 μπισκότα .Πριν έρθει ο πρώτος τώρα με το  ίδιο σκεπτικό τα μπισκότα ήταν 14+1=15 , 15x2=30 μπισκότα.

4. Ελεγχοσ τηΣ Λυσησ

Επαληθεύουμε τα αποτελέσματα ακολουθώντας την εκφώνηση  βήμα- βήμα.

Αρχικά έχουμε 30 μπισκότα έρχεται ο Γιώργος και τρώει τα μισά και ένα ακόμη άρα έφαγε   30:2+1=16 μπισκότα  , στο κουτί έμειναν  30-16=14 μπισκότα , έρχεται μετά ο Νίκος  τρώει 14:2+1=8 μπισκότα  στο κουτί έμειναν  14-8=6 στην συνέχεια η Τασούλα έφαγε 6:2+1=4 μπισκότα  στο κουτί έμειναν 6-4=2. Με τελευταίο το Γιάννη που τρώει και τα 2 και αδειάζει το κουτί .

Παράδειγμα 3

   Αρκετές φορές η επίλυση ενός προβλήματος που φαντάζει δύσκολο δεν απαιτεί παρά μόνο μερικούς απλούς λογικούς συλλογισμούς και «έξυπνα μαντέματα» , όσο αδόκιμος και  αν φαντάζει ο όρος .Εξηγούμαι, ας δούμε το κλασσικό πρόβλημα ενός μαγικου τετραγώνου 3x3.

Να τοποθετηθούν στον παρακάτω πίνακα 3x3 οι αριθμοί από το 1 μέχρι το 9 έτσι ώστε κάθε γραμμή ,κάθε στήλη και κάθε διαγώνιος να έχουν το ίδιο άθροισμα.

Αν ακολουθήσουμε τα βήματα του  Πόλυα  θα έχουμε:

1. ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Καταγράφουμε τα  κύρια στοιχεία του προβλήματος

 Πίνακας 3x3 , 9  αριθμοί ,1,2,3,…,7,8,9  τοποθέτηση τους έτσι ώστε κάθε γραμμή, στήλη ή διαγώνιος να έχει  το ίδιο άθροισμα.

2. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ

Παρατηρούμε ότι η μέθοδος δοκιμής-πλάνης δεν βοηθά .Αν προσπαθήσουμε να δοκιμάσουμε στην τύχη αριθμούς αντιμετωπίζουμε την εξής δυσκολία: Το πλήθος όλων των διατάξεων των 9 αριθμών στον πίνακα είναι 362.880. Άρα πρέπει να  αρχίσουμε να αποκλείουμε περιπτώσεις.

3.ΕΠΙΛΥΣΗ

  Το άθροισμα των αριθμών 1+23+4+5+6+7+8+9+=45.Αν κάθε γραμμή έχει το ίδιο άθροισμα τότε θα ισχύει 45/3=15. Παρατηρούμε ότι ,από όλα τα κελιά του πίνακα αυτό που καθορίζει γραμμές και σειρές και διαγώνιους είναι το κεντρικό. Την τιμή αυτού του κελιού θα πρέπει να βρούμε πρώτα .Μπορούμε για παράδειγμα να βάλουμε το 9  τότε το 8 θα βρισκόταν σε κάποια γραμμή ή στήλη και μαζί με το 9 θα είχαμε άθροισμα 17 >15. Άρα αποκλείουμε το 9 να βρίσκεται στο κεντρικό κελί. Κατά τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποκλείσουμε για το κεντρικό κελί το 6,7,8  γιατί μαζί με το 9 σε κάποια γραμμή η στήλη το άθροισμα τους θα ξεπερνούσε το 15. Ας πάμε τώρα στον μικρότερο αριθμό το 1, μπορεί να καταλάβει την θέση του κεντρικού κελιού; Αν συνέβαινε αυτό θα βρισκόταν μαζί με το 2 σε κάποια γραμμή ή στήλη και  για να γίνει το άθροισμα 15 θα απαιτούσε ακόμα 12 ,αριθμός που δεν υπάρχει. Κατά τον ίδιο τρόπο  απορρίπτουμε για την θέση του κεντρικού κελιού τους αριθμούς 2,3 και 4.Έχοντας αποκλείσει όλες τις άλλες περιπτώσεις  στο κεντρικό κελί δεν απομένει παρά μόνο το 5.

	5

Τώρα θα πρέπει να κινηθούμε μαντεύοντας «έξυπνα». Μπορούμε για παράδειγμα να βάλουμε το 1 σε ένα γωνιακό κελί. Τότε για την διαγώνιο για να έχουμε άθροισμα 15 δεν απομένει παρά μόνο το 9.

1
	5
		9

 Στην γραμμή του 9  θα πρέπει τα  άδεια κελιά να έχουν άθροισμα 6 ( μαζί με το 9 να φτάσουν στο 15). Δυο αριθμοί έχουν άθροισμα 6  ,τα 2 και 4  αλλά ο καθένας από τους δυο αριθμούς στην ίδια στήλη με το 1 αποκλείεται να δίνει με οποιοδήποτε συνδυασμό των υπολοίπων αριθμών  άθροισμα 15. Άρα αποκλείουμε το γεγονός το 1 να βρίσκεται σε γωνιακό κελί.

Βάζουμε το 1 στο κεντρικό κελί στην πρώτη γραμμή, τότε έχουμε:

	1
	5
	9

  Το 7 δεν μπορεί να βρίσκεται στην ίδια στήλη με το 1 γιατί για να έχουμε άθροισμα 15 θα απαιτούνταν άλλο ένα 7.

7	1	;
	5
	9

Άρα το 8 θα μπορούσε να μπει στην ίδια γραμμή με το 1 και να συμπληρωθεί με το 6 .

8	1	6
	5
	9

Από τις διαγώνιους που πρέπει να αθροίζουν  15 ,βρίσκουμε τις τιμές των γωνιακών κελιών 2 και 5.

8	1	6
	5
4	9	2

Τελικά :

8	1	6
3	5	7
4	9	2

4. Ελεγχοσ τηΣ Λυσησ

Επαληθεύουμε τα αποτελέσματα, υπολογίζοντας το άθροισμα κάθε γραμμής,στήλης  ή διαγώνιου.

 Ο Τζωρτζ Πόλυα γεννήθηκε στην Ουγγαρία το 1887 και  μετανάστευσε στη Αμερική κατά την διάρκεια του δευτέρου  παγκοσμίου πολέμου. Δεν επέστρεψε ποτέ στην Ουγγαρία, θήτευσε  ως καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Στάνφορντ όπου παρήγαγε μαθηματικά μέχρι το τέλος της ζωής του.