Η εικασία του Gilbreath!!!!

  Το 1958, εν μέσω καλοκαιρινής ραστώνης  ο Αμερικανός μαθηματικός και ερασιτέχνης ταχυδακτυλουργός Norman L.Gilbreath   εμπνεύστηκε μια εικασία που αφορά ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια των μαθηματικών , τους πρώτους αριθμούς .

Ο Gilbreath έγραψε σε ένα χαρτί διαδοχικούς πρώτους αριθμούς ξεκινώντας από το 2. Στην συνέχεια  έγραψε τις διαφορές των διαδοχικών αυτών  αριθμών δημιουργώντας νέες σειρές :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

            1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 2, ...

1, 2,  2, ...

1, 0, ...

1,...

  Ο Gilbreath λοιπόν ισχυρίστηκε ότι  στην πρώτη στήλη  εκτός από το πρώτο στοιχείο πάντα θα προκύπτει ο αριθμός 1. Μέχρι σήμερα κανένας δεν κατόρθωσε να  βρει μια εξαίρεση ( ένα αντιπαράδειγμα). Ο μαθηματικός Richard Guy  αναφέρει χαρακτηριστικά: « Δεν φαίνεται στον ορίζοντα μια απόδειξη της εικασίας του Gilbreath  στο εγγύς μέλλον παρ ότι πιθανότατα ισχύει!!!»  Η μαθηματική κοινότητα δεν έχει καν την βεβαιότητα αν  η εικασία αφορά  τους πρώτους αριθμούς  ή μπορεί να εφαρμοστεί  σε κάθε ακολουθία αριθμών η οποία αρχίζει με το 2  και συνεχίζει με περιττούς αριθμούς  που αναπτύσσονται με κάποιο τρόπο που δεν γνωρίζουμε.

   Παρ ότι σαν ερώτημα η εικασία δεν αποτελεί σημαντικό πρόβλημα των μαθηματικών  είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα προβλήματος που  μπορεί να θέσει ακόμα και ένας ερασιτέχνης αλλά απαιτούνται αιώνες μέχρι να αποδειχτεί. Θυμηθείτε την εικασία του  Goldbach , την εικασία του Collatz.     Ο Πωλ Έρντος  πίστευε ότι η εικασία του  Gilbreath  ισχύει  , αλλά  απαιτούνται περισσότερα από 200 χρόνια μέχρι να αποδειχθεί.