Σχιζοφρενικοί αριθμοί!

  Ο Αμερικανός μαθηματικός Κέβιν Μπράουν το 1997,ανακάλυψε  μια πολύ περίεργη ακολουθία αριθμών.Τόσο περίεργη, που την ονόμασε ακολουθία σχιζοφρενικών αριθμών (παρ’ ότι υπάρχουν ενστάσεις για την πολιτική ορθότητα του χαρακτηρισμού).Δείτε πως την όρισε:

 Για κάθε θετικό  ακέραιο n,έστω f(n) ο αριθμός που προκύπτει από τον αναδρομικό τύπο:

                                    f(n)=10 x f(n-1)+n

με αρχική τιμή f(0)=0 .Ο παραπάνω αναδρομικός τύπος ορίζει ότι κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει αν δεκαπλασιάσουμε τον προηγούμενο και προσθέσουμε τον αύξοντα αριθμό του.Για τις τιμές 1,2,3,4,5,ο τύπος παράγει:                                           

                               f(1)=10 x f(0)+1=10 x 0+1=1

                               f(2)=10 x f(1)+2=10 x 1+2=12

                               f(3)=10 x f(2)+3=10 x 12+3=123

                               f(4)=10 x f(3)+4=10 x 123+4=1234                                                                                         f(5)=10 x f(4)+5=10 x 1234+5=12345

 Παράξενο,αλλά δεν αρκεί για να δικαιώσει την ονομασία της ακολουθίας.Αν πάρουμε έναν από αυτούς τους αριθμούς με περιττό n τότε η τετραγωνική του ρίζα  παρουσιάζει ένα αλλόκοτο μοτίβο.Για παράδειγμα,τα πρώτα 500 ψηφία της τετραγωνικής ρίζας του f(49):

                    1111111111111111111111111.1111111111111111111111
                    0860
                   555555555555555555555555555555555555555555555
                    2730541
                   66666666666666666666666666666666666666666
                   0296260347
                    2222222222222222222222222222222222222
                    0426563940928819
                    4444444444444444444444444444444
                    38775551250401171874
                    9999999999999999999999999999
                    808249687711486305338541
                    66666666666666666666666
                    5987185738621440638655598958
                    33333333333333333333
                    0843460407627608206940277099609374
                    99999999999999
                    0642227587555983066639430321587456597
                    222222222
                    1863492016791180833081844.....

Παρατηρούμε ότι υπάρχουν τμήματα επαναλαμβανομένων ψηφίων που ελαττώνονται σταδιακά μέχρι που....εξαφανίζονται.