Μαθήματα Ευρετικής.Προβλήματα λογικής

  Παρατηρώντας τα στατιστικά του ιστολογίου διαπιστώνω ότι οι πιο δημοφιλείς  σπαζοκεφαλιές είναι οι σπαζοκεφαλιές λογικής.Ίσως,γιατί δεν προϋποθέτουν  μαθηματικό υπόβαθρο και μπορεί οποιοσδήποτε να ασχοληθεί μαζί τους.Σπαζοκεφαλιές που εμπλέκουν ανθρώπους που λένε πάντα ψέματα (ψεύτες)και ανθρώπους που λένε πάντα την αλήθεια (ειλικρινείς).Στην παρούσα ανάρτηση θα αποκαλύψουμε  λίγη από την μαγεία αυτών των προβλημάτων  κάνοντας λόγο για το τέχνασμα της διπλής άρνησης . Ας δούμε δυο πολύ γνωστά προβλήματα λογικής και πως εμπλέκεται στο πρώτο η διπλή άρνηση.

Πρόβλημα 1^ο

  Σε ένα δρόμο έχουμε μια διασταύρωση.Το ένα μονοπάτι οδηγεί στην πoλη Α, η οποία κατοικείται μόνο από ειλικρινείς (λένε πάντα την αλήθεια).Το άλλο μονοπάτι οδηγεί στην πόλη Β , που κατοικείται μόνο από ψεύτες (λένε πάντα ψέματα). Στην διασταύρωση συναντάτε ένα κάτοικο της μιας από τις δυο πόλεις.Ποια ερώτηση θα του κάνατε, μόνο μια, με απάντηση η «Ναι» η «Όχι»  η οποία θα σας  οδηγούσε στην πόλη Α.

  Η ερώτηση που θα πρέπει να του υποβάλετε είναι αφού δείξετε με το χέρι το ένα από τα δυο μονοπάτια (δεν έχει σημασία ποιο) είναι:

                                     «Πηγαίνει αυτός ο δρόμος στην πόλη σου;»

Μια καταφατική απάντηση σημαίνει ότι ο συγκεκριμένος δρόμος οδηγεί στην πόλη Α ,ενώ μια αρνητική  σημαίνει ότι οδηγεί στην πόλη Β .Ειδικότερα ,αν εκείνος που απάντησε ζει στην πόλη Α, τότε το «Ναι» του σημαίνει ότι ο δρόμος  οδηγεί στην Α ενώ το «Όχι» οδηγει  σημαίνει ότι οδηγεί στην Β , αφού λέει μόνο την αλήθεια .Από την άλλη, αν ζει στην Β, τοτε είναι ψεύτης και το Ναι» του σημαίνει ότι ο δρόμος δεν οδηγεί  στην Β ( άρα οδηγεί στην Α) ενώ το «όχι» του σημαίνει  ότι  οδηγεί την Β  στην οποία κατοικεί. Σε κάθε περίπτωση , η απάντηση  «Ναι» σημαίνει ότι  ο δρόμος οδηγεί  στην Α και η απάντηση «Όχι» σημαίνει ότι ο δρόμος οδηγεί στην Β.

     Υπάρχουν και άλλες λύσεις του προβλήματος όλες όμως χρησιμοποιούν την ίδια ιδέα. Η ερώτηση πρέπει να διατυπωθεί έτσι  ώστε ο ψεύτης  να πρέπει να δώσει μια «διπλή αρνητική» απάντηση  σε αυτήν. Αφού η διπλή άρνηση είναι κατάφαση η απάντηση του ψεύτη θα  συμπίπτει με αυτή του ειλικρινούς.

    Πρόβλημα 2^ο

Στο δεύτερο πρόβλημα  δίνονται και αριθμητικά δεδομένα ενώ με την γενίκευση του έχει ασχοληθεί ενδελεχώς ο Μάρτιν Γκάρντνερ στο βιβλίο του «My best puzzles in math and logic” .
"Σε μια κοσμική συγκέντρωση  συμμετέχουν  Ν προσκεκλημένοι -κάποιοι  από αυτούς κατάγονται από το ψευδοχώρι (ψευδοχωρίτες)ενώ οι υπόλοιποι κατάγονται από το Αληθοχώρι(αληθοχωρίτες) .Είναι γνωστό ότι συμμετέχουν περισσότεροι αληθοχωρίτες  από ότι ψευδοχωρίτες,και ότι οι αληθοχωρίτες απαντούν σε όλες τις ερωτήσεις με ειλικρίνεια  ενώ οι ψευδοχωρίτες ψεύδονται πάντα .Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεστε ανάμεσα τους δεν γνωρίζετε κανένα προσκεκλημένο   και θέλετε να ξέρετε για καθένα από τους προσκεκλημένους αν είναι  αληθοχωρίτης ή ψευδοχωρίτης .Υπάρχει μέθοδος να το κατορθώσετε υποβάλλοντας ακριβώς Ν-1 ερωτήσεις;"

 Παρότι αρχικά φαίνεται αδύνατο, εντούτοις υπάρχει  λύση. Αρκεί να επιλέξουμε τυχαία έναν από τους προσκεκλημένους ( Για ευκολία τον ονομάζουμε Αλβέρτο) και θα τον ρωτήσουμε για την καταγωγή (αληθοχωρίτης η ψευδοχωρίτης) όλων των άλλων.

   Έτσι θα κατορθώσουμε να χωρίσουμε τους Ν-1 προσκεκλημένους σε δυο ομάδες. Μια ομάδα που θα αποτελείται από αυτούς που ο Αλβέρτος ονόμασε αληθοχωρίτες και μια ομάδα από αυτούς που ο Αλβέρτος ονόμασε ψευδοχωρίτες. Παρατηρούμε  ότι το  πλήθος των δύο ομάδων  η ομάδα με το μεγαλύτερο πλήθος είναι οι Αληθοχωρίτες και η ομάδα με το μικρότερο πλήθος είναι οι ψευδοχωρίτες ανάλογα με τι απάντησε ο Αλβέρτος (αλήθεια ή ψέματα) τον βάζουμε  στην σωστή ομάδα. Αν το πλήθος των ομάδων είναι το ίδιο τότε θα πρέπει ο Αλβέρτος να είναι Αληθοχωρίτης (οι αληθοχωρίτες είναι περισσότεροι)  και τον βάζουμε με την ομάδα που χαρακτήρισε ως αληθοχωρίτες .