Μαθηματικά αξιοπερίεργα:Τα πάζλ των 2000 κομματιών και η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων!

  Πόση σχέση μπορεί να έχει η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων  ενός θετικού ακεραίου με την κατασκευή ενός παζλ ; Άμεση!!Η απάντηση ξενίζει, αλλά ,αν  κάποιος μπει τον κόπο να μετρήσει  τα κομμάτια των παζλ, θα διαπιστώσει ότι δεν είναι πάντα ο αριθμός που αναγράφεται στο κουτί.Το πλήθος των κομματιών που αναγράφεται στα κουτιά των  παζλ  συνήθως είναι: 500,1000,2000,3000,5000,8000.

 Τα παζλ των 500 κομματιών έχουν όντως 500 κομμάτια , αλλά δεν συμβαίνει το ίδιο με αυτά των 2000.Και δεν χρειάζεται να τα μετρήσουμε για να το επιβεβαιώσουμε. Κάποιοι κατασκευαστές αναφέρουν την λεπτομέρεια αυτή στα τεχνικά χαρακτηριστικέ αλλά δεν εξηγούν το λόγο. Όλα τα πάζλ είναι ορθογώνια. Τα κομμάτια τους αν  και διαφορετικά,κόβονται πάνω σε μια ορθογώνια βάση στην οποία έχουν δημιουργηθεί προεξοχές και εγκοπές.
   Για να σχηματιστεί λοιπόν το πάζλ των 2000 κομματιών χρειάζονται  δυο ακέραιοι αριθμοί, ένας για κάθε πλευρά του ορθογώνιου ,οι οποίοι όταν θα πολλαπλασιαστούν θα δίνουν γινόμενο 2000. Δεδομένου όμως ότι 2000=2⁴5³,οι επιλογές λοιπόν είναι:

 2000=2* 1000=4*500=8*250=10*200=16*125=20*100=25*80=40*50   

Οι αναλογίες μεταξύ του μήκους και του πλάτους των εν λόγω κατανομών πρέπει να είναι τέτοιες  ώστε να προκύπτει μια ισορροπημένη ορθογώνια κατανομή. Όταν το πάζλ ολοκληρωθεί δεν πρέπει να μοιάζει με ταινία , αλλά με φύλλο προτύπου DIN .

Τι σημαίνει πρότυπο DIN;
Τα στάνταρ μεγέθη των χαρτιών, προσδιορίζονται από τo ISO 216.
Εκεί περιγράφονται με σαφήνεια όλες οι διεθνείς στάνταρ διαστάσεις χαρτιών, όπως π.χ. το Α4, που ισχύουν στις περισσότερες χώρες του κόσμου.
Το ISO 216 κυκλοφόρησε το 1975 και βασίζεται στο Γερμανικό DIN 476 που υπάρχει από το 1922.
Στο ISO 216 περιγράφεται η Σειρά Α .
Η βασική αρχή έγκειται στο ότι τα μεγέθη που προκύπτουν από το δίπλωμα ή το κόψιμο του χαρτιού στην μέση -πάντα το δίπλωμα ή το κόψιμο γίνεται στην μεγαλύτερη πλευρά- το νέο μέγεθος που προκύπτει να έχει την ίδια αναλογία.
Οι διαστάσεις των πλευρών του μεγέθους Α έχουν έναν λόγο ο οποίος είναι 1,414.
Έτσι λοιπόν με δεδομένο αυτό το λόγο (1:1,414) και για το εμβαδόν ενός τετραγωνικού μέτρου, ορίζεται το σχήμα Α0 με πλευρές: 841Χ1189 χιλ. και κόβοντας πάντα την μεγάλη διάσταση στην μέση, παίρνουμε διαδοχικά τα σχήματα Α1, Α2, Α3, Α4 κ.ο.κ. Δείτε το σχήμα :

                                 

Αρα  η αναλογία μήκους-πλάτους στο παζλ θα πρέπει για να είναι συμβατή με το πρότυπο DIN δηλαδή να  είναι, κατά προσέγγιση 1,4 .

                                

 Όμως  τα ορθογώνια που προκύπτουν από τους διαιρέτες του 2000 είναι είτε υπερβολικά τετραγωνισμένα είτε υπερβολικά μακριά, αυτό φαίνεται και από τους λόγους :

                                                       50/40=1,25

                                                        80/25=3,2

Αντί για 2000 κομμάτια , τα πάζλ συνήθως αποτελούνται από 1998.Εντοπίζουμε την αιτία του γεγονότος  αν αναλύσουμε το 1998 σε γινόμενο  πρώτων παραγόντων και δούμε ποιο γινόμενο δυο διαιρετών του δίνει ορθογώνιο που συμβαδίζει  με το επιθυμητό μέγεθος:

                   1998=2*3³*37    άρα   (2*3³)/37 =54/37=1,46  πολύ κοντά στο πρότυπο DIN.