Ο κύκλος των κύβων του Kaprekar!

D.R. Kaprekar (1905-1986)

  
 Ο Ινδός  μαθηματικός  D.R. Kaprekar (1905-1986)  το 1956 παρουσίασε  έναν μαγικό  αριθμητικό κύκλο.



                            

   Ο παραπάνω αριθμητικός  κύκλος  αν διαβαστεί με αφετηρία το 0 με την φορά των δεικτών του ρολογιού (ανά δύο ψηφία) προκύπτουν οι αριθμοί:
                      04, 20, 34, 12, 50, 42, 03, 41, 53, 15, 31, 25.
Αν τον διαβάσουμε ανάποδα από την φορά των δεικτών του ρολογιού  τότε προκύπτουν οι αριθμοί:
                         05, 21, 35, 13, 51, 43, 02, 40, 52, 14, 30, 24.
  Το άθροισμα της πρώτης ομάδας αριθμών  ισούται με το άθροισμα της δεύτερης και αυτό εξακολουθεί να ισχύει και για  τους κύβους και τα τετράγωνα τους.
04+ 20+34+12+50+42+03+41+53+15+31+25= 05+ 21+ 35+13+ 51+ 43+02+40+ 52+ 14+ 30+ 24
04²+ 20²+34²+12²+50²+42²+03²+41²+53²+15²+31²+25²= 05²+ 21²+ 35²+13²+ 51²+ 43²+02²+40²+ 52²+14²+ 30²+24²
04³+ 20³+34³+12³+50³+42³+03³+41³+53³+15³+31³+25³= 05³+ 21³+ 35³+13³+ 51³+ 43³+02³+40³+ 52³+14³+ 30³+24³