Μαθηματικά αξιοπερίεργα.Ο Μότσαρτ και τα μουσικά ζάρια του!

  Πως θα σας φαινόταν να μπορούσατε να συνθέσετε το δικό σας κομμάτι κλασσικής μουσικής; Θα απαντήσετε εύλογα ότι απαιτούνται  χρόνια σπουδών , έμπνευση και ταλέντο. Μην ανησυχείτε. Ο Μότσαρτ και η συνδυαστική ανάλυση προνόησαν για σας.Μπορείτε να συνθέσετε το δικό σας  κομμάτι κλασσικής μουσικής και να διεκδικήσετε την θέση σας στην μουσική ιστορία αρκεί …να ξέρετε πώς να ρίχνετε  ζάρια!   

   Ο Βόλφανγκ Αμαντέους Μότσαρτ ( 1756-1791) επινόησε ένα παιχνίδι  με το οποίο, με την βοήθεια  δυο ζαριών, μπορεί να συνθέσει οποιοσδήποτε  μουσικά κομμάτια 16 μέτρων χωρίς να έχει ιδέα από μουσική ή σύνθεση. To 1792 , ένα χρόνο μετά το θάνατο του μεγάλου μουσικού εκδόθηκε το βιβλίο του «Musikalisches Würfelspiel» ( Μουσικό παιχνίδι με ζάρια ).  Το Musikalisches Würfelspiel  είναι μια γεννήτρια μουσικών κομματιών, πρόκειται για ένα σύστημα το οποίο, από τα αποτελέσματα που λαμβάνονται από δυο ζάρια μπορεί να δημιουργήσει ένα τεράστιο αριθμό μουσικών κομματιών 16 μέτρων το καθένα. Ο Μότσαρτ έγραψε  176 μέτρα αριθμημένα  από το 1 μέχρι το 176 και τα τοποθέτησε σε ένα πίνακα  16 στηλών, καθεμία από τις οποίες έχει 11 σειρές  με ένα μέτρo η καθεμία. Η διαδικασία για την δημιουργία ενός «κομματιού» με την βοήθεια της τύχης  είναι η έξης:

 Τα δυο ζάρια ρίχνονται 16 φορές (ένα για κάθε στήλη ),και σε κάθε ρίξιμο επιλέγεται το μέτρο η γραμμή  του οποίου  αντιστοιχεί  στο άθροισμα των αριθμών των δυο ζαριών (11 πιθανά αποτελέσματα, από 2 έως 12).

                     

 Από την δομή του πίνακα συμπεραίνουμε ότι μπορούν να προκύψουν 11¹⁶ ( 45,949,729,863,572,161) διαφορετικά μουσικά κομμάτια.Επειδή μερικά μέτρα είναι ίσα ακόμα και αν έχουν διαφορετικό αριθμό να τα προσδιορίζει,ο αριθμός των πιθανών συνθέσεων είναι 11¹⁴ x 2² (1,518,999,334,332,964 ).Στα κοινά εξαεδρικά ζάρια   σε κάθε ρίψη ενός ζεύγους το άθροισμα που εμφανίζεται συχνότερα είναι το 7,άρα στη μέθοδο του Μότσαρτ κάποια μέτρα εμφανίζονται συχνότερα,αυτό όμως θα μπορούσε να ξεπεραστεί αν γινόταν η χρήση δωδεκαεδρικών ζαριών.

  Ο αριθμός  των πιθανών μουσικών κομματιών είναι ασύλληπτα μεγάλος  , σκεφτείτε ότι,  είναι περισσότερο πιθανό κάποιος να πιάσει 62164442 φορές το τζόκερ παρά να «συνθέσει» το ίδιο κομμάτι δυο φορές. Αν  ερμηνεύονταν  συνεχώς  όλες οι πιθανές παρτιτούρες,και κάθε ερμηνεία κρατούσε μόλις  30 δευτερόλεπτα, για να εξαντληθούν όλες οι δυνατότητες  θα απαιτούνταν περισσότερα από 40 δισεκατομμύρια χρόνια και χωρίς η μουσική  να σταματήσει  ούτε μια στιγμή.Η μεγάλη έκρηξη( Big Bang, η αρχή του σύμπαντος όπως το γνωρίζουμε )πραγματοποιήθηκε ανάμεσα σε 13 και15 δισεκατομμύρια χρόνια  πριν,και δεδομένου ότι ο Ήλιος μας θα διαρκέσει  ακόμα για περίπου  5 δισεκατομμύρια χρόνια τότε ,η ερμηνεία όλων των μουσικών κομματιών  που παράγονται με τα ζάρια  θα απαιτούσε τον αποικισμό άλλων ηλιακών συστημάτων.