Ο Fibonacci και ένα δημόσιο ..διαγώνισμα!!

   Εν έτη 1225, ο αυτοκράτορας Φρειδερίκος ο 2^ος  ταξίδεψε μέχρι την Πίζα της Ιταλίας  συνοδευόμενος από  ένα επιτελείο διακεκριμένων μαθηματικών της εποχής , να διαπιστώσει ιδίοις όμμασι , αν ο Leonardo  Fibonacci ήταν αντάξιος της φήμης του. Τον υπέβαλλε λοιπόν σε μια δημόσια μαθηματική  εξέταση.Ο Fibonacci  με ευκολία έλυσε κάθε πρόβλημα που του τέθηκε  και δικαίωσε την μαθηματική του φήμη.

Ένα από τα προβλήματα αυτού του...διαγωνίσματος ,ήταν το εξής :

« Να βρεθεί ένα τέλειο τετράγωνο , τέτοιο ώστε , είτε αφαιρέσουμε 5 μονάδες ,είτε προσθέσουμε 5 μονάδες να παραμένει τέλειο τετράγωνο.»

  Ο μαθηματικός και ιστορικός  των μαθηματικών G.N.Popov , στο βιβλίο του «Ιστορικά προβλήματα» (1932) παρουσιάζει μια λύση  του προβλήματος ,εικάζοντας  τον τρόπο λύσης του Fibonacci.

 Έστω  α²  ο ζητούμενος αριθμός , τότε από υπόθεση θα ισχύει:

    α²+5=β²

    α²-5=γ²

Αφαιρούμε κατά μέλη :

 Και προκύπτει:   β² - γ² = 10

Αλλά   ο αριθμός 10 γράφεται:  10 = (80 x 18)/12²,όμως  β² - γ²=(β-γ)(β+γ)( Ταυτότητα διαφοράς τετράγωνων)

(β-γ)(β+γ)= (80 x 18)/12²

         ή

(β-γ)(β+γ)= (80/12) x ( 18/12)

         ή

β-γ =18/12

β+γ =80/12

 

Λύνοντας το σύστημα έχουμε : β=49/12  , γ=31/12

Άρα α²=(1681/144)=(41/12)²

Πραγματικά επαληθεύοντας ,προκύπτει:

(1681/144)+5= 2401/144=(49/12)²

(1681/144)-5= 961/144=(31/12)²