Αναζητώντας το τελευταίο ψηφίο!

                                    

   Ένα πολύ γνωστό αριθμητικό τρικ αστραπιαίου υπολογισμού από αυτά που έκαναν επί σκηνής αριθμομνήμονες  του παρελθόντος είναι η εύρεση του τελευταίου  ψηφίου ενός πολύ μεγάλου αριθμού,χωρίς υπολογιστή τσέπης και σε μερικά δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα,ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού της μορφής:            

                                2345436267748089^{46836537836488}

Ζητάτε από ένα φίλο ή φίλη σας να σας πει ένα μεγάλο αριθμό της παραπάνω μορφής  

 α^β όπου α,β θετικοί ακέραιοι.

▪ Αν ο αριθμός  α έχει τελευταίο ψηφίο 0,1,5 και 6 τότε απαντάτε άμεσα ότι το τελευταίο ψηφίο είναι το ίδιο με του αριθμού α^β ανεξάρτητα από το β.

Για παράδειγμα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 89754687476476^{457604937067654466464} είναι το 6.

(http://www.wolframalpha.com/input/?i=89754687476476^457604937067654466464)

▪ Αν το τελευταίο ψηφίο του α δεν είναι 0,1,5 και 6 τότε από τον αριθμό α^β  αποκόπτουμε νοερά  το τελευταίο ψηφίο(το ψηφίο των μονάδων) του α και τα δυο τελευταία  ψηφία ( μονάδων, δεκάδων)του β.

Για τον αριθμό που τέθηκε στην αρχή θα είχαμε:

                          2345436267748089^{46836537836488}  ->9⁸⁸

   Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε τον έκθετη (88) ,αν είναι πολλαπλάσιο του 4 αρκεί να υψώσουμε τον αριθμό  9 στην τέταρτη δύναμη, το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος είναι το ζητούμενο.

                                                   9⁸⁸->9⁴   

  Το να υψώσουμε ένα αριθμό στην τετάρτη  όταν μας αφορά μόνο το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος δεν είναι τόσο δύσκολο όσο ακούγεται,υψώνουμε στο τετράγωνο και κατόπιν υψώνουμε πάλι στο τετράγωνο  μόνο το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος και καταλήγουμε το αποτέλεσμα .

                                     9²  =81        1² =1  

άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 2345436267748089^{46836537836488} είναι το 1.

( http://www.wolframalpha.com/input/?i=2345436267748089^46836537836488 )

   ▪ Αν ο έκθετης δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 απλά αφαιρούμε από αυτόν το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4  και υψώνουμε στον αριθμό που προκύπτει .Για παράδειγμα ο αριθμός

    767866546354896365933578397423^{47235920848473875007527}->3²⁷

  27-24=3  (24 το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4)     3²⁷->3³=27

άρα  το τελευταίο ψηφίο του αριθμού  767866546354896365933578397423^{47235920848473875007527} είναι το 7.

(http://www.wolframalpha.com/input/?i=767866546354896365933578397423^47235920848473875007527)

Μερικά παραδείγματα

▪ 7894378909763478^{97367639076097837897563760789037} ->8³⁷

37-36=1        άρα 8¹=8   άρα  τελευταίο ψηφίο το 8

▪908675894064^{76539076307895607073774573747}->4⁴⁷

47-44=3      4³=64    άρα  τελευταίο ψηφίο το  4

Η διαδικασία με εξάσκηση μπορεί να ολοκληρωθεί νοερά σε λίγα δευτερόλεπτα.

Μπορείτε να επαληθεύετε τα αποτελέσματα σας  στον ιστότοπο http://www.wolframalpha.com/