«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τετάρτη, 25 Σεπτεμβρίου 2013

Οι 64 πύργοι του Ανόι,ο πλανήτης των πιθήκων και ένα πρόβλημα για το τέλος του κόσμου.


"Που τελειώνει το παιχνίδι και που αρχίζουν τα σοβαρά μαθηματικά;Για πολλούς,τα μαθηματικά, νοούμενα ως θανασίμως  βαρετά,δεν έχουν καμιά σχέση με το παιχνίδι. Αντιθέτως,στα μάτια των περισσότερων μαθηματικών δεν παύουν ποτέ να αποτελούν ένα παιχνίδι,όντας ταυτόχρονα και πολλά άλλα πράγματα ."                       
                                                                                                     Miguel de Guzman



  Ο Edouard Lucas (1842-91) ήταν Γάλλος μαθηματικός που μελέτησε την ακολουθία Fibonacci και την ακολουθία Lucas που φέρει τιμητικά το όνομα του ,το 1876 απέδειξε ότι ο αριθμός 2127-1 είναι πρώτος, ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε μέχρι το 1951.Ο Lucas  έγινε γνωστός όμως χάρη σε ένα παιχνίδι το οποίο  παρουσίασε στο κοινό το 1883 με το ψευδώνυμο Mr Claus καθηγητή του κολεγίου Li-Sou–Stian.Παρατηρείστε ότι όνομα και κολέγιο είναι αναγραμματισμός του ονόματος του Lucas και του κολλεγίου Lycee Saint-Louis  όπου πραγματικά δίδασκε. Το Ανόι ήταν  η πρωτεύουσα του Βιετνάμ, μια χώρα εξωτική και μυστηριώδης αλλά παράλληλα και Γαλλική αποικία. Ποιος είπε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν χιούμορ.. Το παιχνίδι περιγράφει γλαφυρά η παρακάτω ιστορία:


 «Στο μεγαλόπρεπο Ναό του Benares,ακριβώς στο κέντρο του ναού είναι στερεωμένο ένα μεταλλικό ορθογώνιο πλαίσιο, πάνω στο πλαίσιο  ήταν στερεωμένοι τρεις μεταλλικοί στύλοι ύψους δυο μέτρων ο καθένας. Στον ένα από αυτούς τους στύλους  κατά την  δημιουργία του κόσμου τοποθετήθηκαν 64 χρυσοί  κυκλικοί δίσκοι διαφορετικής διαμέτρου .Οι δίσκοι είναι τοποθετημένοι  κατά  τέτοιο τρόπο ώστε στην βάση του στύλου να βρίσκεται ο δίσκος με την μεγαλύτερη διάμετρο  και οι υπόλοιποι διατάσσονται κατά φθίνουσα σειρά από την μεγαλύτερη διάμετρο στην μικρότερη. (βλέπε σχήμα) Αυτός ο στύλος ονομάζεται ο πύργος του Βράχμα και  μέρα-νύχτα οι μοναχοί του μοναστηριού  μεταφέρουν τους κυκλικούς δίσκους από τον ένα στύλο στον άλλο, ακολουθώντας τους  δυο απαράβατους νομούς του Βράχμα, οι όποιοι απαιτούν  ότι ο μοναχός δεν πρέπει να  μετακινεί παραπάνω από ένα δίσκο την φορά ,καθώς επίσης δεν επιτρέπεται για κανένα λόγο να τοποθετήσει δίσκο μεγαλύτερης διαμέτρου πάνω σε κυκλικό δίσκο  μικρότερης διαμέτρου .Ο Θρύλος λέει ότι όταν όλοι οι δίσκοι μεταφερθούν από τον ένα στύλο στο άλλο  ο κόσμος θα μετατραπεί σε στάχτη και σκόνη.»





Το πρόβλημα να βρεθεί ο αριθμός των κινήσεων που απαιτούνται για την μεταφορά και των 64 δίσκων. Φυσικά και δεν υπάρχει λόγος ανησυχίας, αποδεικνύεται  ότι για την μεταφορά ν δίσκων απαιτούνται 2ν-1 κινήσεις, άρα για το συγκεκριμένο παράδειγμα αν για κάθε κίνηση απαιτείται 1 δευτερόλεπτο απαιτούνται 264-1 κινήσεις, ισοδύναμο χρονικά με 500.000.000.000 χρόνια.
Ας δούμε λίγο πως αντιμετωπίζεται το πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 4 δίσκους  για να τους μεταφέρουμε από τον στύλο Α στο στύλο Β. Δίνουμε αύξοντα αριθμό από το 1 μέχρι το 4 στους δίσκους από την κορυφή και κάτω. Οι κανόνες είναι απλοί:
1.Παντα μεταφέρουμε του δίσκους με περιττή αρίθμηση στην πρώτη τους κίνηση από τον στύλο Α στον Γ ,ενώ τους δίσκους με  άρτια αρίθμηση τους μεταφέρουμε στην πρώτη τους κίνηση από τον στύλο Α στον στύλο Β.
2.Μεταφερουμε τον δίσκο 1 κάθε δεύτερη κίνηση , τον δίσκο 2 κάθε τετάρτη κίνηση τον δίσκο 3 κάθε όγδοη κίνηση κ.ο.κ. Ας δούμε διαδοχικά όλες τις κινήσεις στο παρακάτω σχήμα:


                                          

                                        



 Στην ηλεκτρονική διεύθυνση http://www.wolframalpha.com/input/?i=tower+of+hanoi
 μπορείτε να εισάγετε τον αριθμό των δίσκων και  να εμφανίζει  την λύση.
 Οι πύργοι του Ανόι είναι  δημοφιλής άσκηση σε εισαγωγικά μαθήματα προγραμματισμού καθώς απαιτείται συγκεκριμένος αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος. Το παιχνίδι-με πολύ λιγότερους δίσκους-βγήκε στο εμπόριο σε διάφορες εκδοχές του πάμπολλες φορές τα τελευταία 120 χρόνια.
Στον ιστότοπο puzzlemuseum.com-το μεγαλύτερο διαδικτυακό μουσείο παιχνιδιών, γρίφων, και πάζλ-βρίσκουμε την παρακάτω φωτογραφία που δείχνει τις διάφορες εκδοχές των πύργων του Ανόϊ.
 





Οι πύργοι του Ανόϊ επίσης εμφανίζονται :
• Στην ιστορία επιστημονικής φαντασίας"Now Inhale",του Eric Frank Russell, ο ήρωας φυλακίζεται σε ένα πλανήτη που το τοπικό έθιμο επιβάλλει στον φυλακισμένο να παίξει ένα παιχνίδι, όποιο θέλει. Αν χάσει εκτελείται. Ο ήρωας γνωρίζει ότι ένα σκάφος  διάσωσης θα χρειαζόταν ένα έτος ή περισσότερο για να φτάσει στον πλανήτη, έτσι επιλέγει να παίξει τους Πύργους του Ανόι με 64 δίσκους.
• Στην cult σειρά επιστημονικής φαντασίας του 1966 Doctor Who, ο ήρωας παίζει ενάντια σε έναν σατανικό κατασκευαστή παιχνιδιών  μια παραλλαγή του παιχνιδιού με πυραμίδες  και 10 δίσκους.
• Το 2007 στο παιχνίδι με γρίφους της Nintendo με τίτλο Professor Layton and the Diabolical Box στους γρίφους 6,83 και 84  οι δίσκοι έχουν αντικατασταθεί με τηγανίτες.
• Στην κινηματογραφική ταινία του  2011 με τίτλο Rise of the Planet of the Apes οι πύργοι του Ανόι χρησιμοποιούνται με την ονομασία ο πύργος του  Lucas  για να μετρηθεί η νοημοσύνη των πιθήκων.
 


• Οι Πύργοι του Ανόι χρησιμοποιούνται από τους ψυχολόγους για τη μέτρηση της λειτουργίας ή δυσλειτουργίας των προμετωπιαίων λοβών.
 


5 σχόλια:

  1. Καλημέρα! O Lucas εμπνεύστηκε από το μύθο του Σίσσα, τον θρυλούμενο εφευρέτη του σκακιού και την-νομίζω- γνωστή ιστορία της αμοιβής του ως: 1 σπειρί στάρι στο πρώτο τετράγωνο, 2 στο επομενο, 4 στο επόμενο,..2^(ν-1) στο νιοστό (μέχρι το 64ο).
    Ο γενικός τύπος για τέτοια αθροίσματα γεωμετρ.προόδων είναι:
    Σ(0 ν-1)α*ρ^κ=α*{(1-ρ^ν)/(1-ρ)}

    Όπου α ο αρχικός όρος (στην περίπτωσή μας το 1 (σπυρί στο πρώτο κουτάκι) , ρ ο λόγος (2) και ν = 64, άρα Σ(0 64-1)α*ρ^κ= 1*{(1-2^64)/(1-2)}

    = (1-2^64) / (-1) = 2^64 – 1
    =18,446,744,073,709,551,615 ,ακριβώς ο ίδιος αριθμός (2^64-1) με τις κινήσεις στους Πύργους του Ανόι! :-)
    Ο Lucas στην πρωτότυπη δημοσίευσή του είναι πιο γλαφυρά αναλυτικός και χιουμοριστικός. Λέει ότι επειδή οι ιερείς εκτελούν μία κίνηση το δευτερόλεπτο χωρίς λάθη (δε γίνεσαι ιερέας του Βραχμαν αν είσαι απρόσεχτος!:-)) και δεδομένου ότι ένα έτος των 365,25 ημερών έχει 31.557.600 δευτερόλεπτα, θα χρειαστούν περισσότερα από 584 δισεκατομμύρια χρόνια, για την ακρίβεια 584.542.046.090 χρόνια, 7 μήνες , 15 μέρες, 8 ώρες, 54 λεπτά και 24 δευτερόλεπτα. Περίοδος αρκετά καθησυχαστική μάλλον :-)
    Καλη συνέχεια στις εξαίρετες αναρτησεις και συγγνώμη για την πολυλογία μου!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Το παράδειγμα με το μύθο του Σίσσα είναι κλασσική αναφορά στην τάξη στο κεφάλαιο των γεωμετρικών προόδων στην Α λυκείου για να κεντρίσει το ενδιαφέρον των μαθητών, αλλά ότι υπήρξε πηγή έμπνευσης για τον Lucas και τους πύργους του, δεν το γνώριζα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Α, oύτε εγώ το ήξερα πως χρησιμοποιείται πλέον στα σχολειά! Μπράβο! Έτσι κεντρίζεται το ενδιαφέρον των παιδιών! Αμα τους πεις αυτή την ιστορία ή την άλλη με τον Γκάους και το άθροισμα των 100 πρωτων φυσικών, ποιο παιδί δεν θα γοητευτεί; και κυρίως κάτι θα τους μείνει, σε σχέση με την ξερή "θεωρία" .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου.Η ιστορία των μαθηματικών είναι μοναδικό εργαλείο για τον δάσκαλο των μαθηματικών.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/01/blog-post_23.html

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...