Οι 64 πύργοι του Ανόι, ο πλανήτης των πιθήκων και ένα πρόβλημα για το τέλος του κόσμου.

 "Που τελειώνει το παιχνίδι και που αρχίζουν τα σοβαρά μαθηματικά;Για πολλούς,τα μαθηματικά, νοούμενα ως θανασίμως  βαρετά,δεν έχουν καμιά σχέση με το παιχνίδι. Αντιθέτως,στα μάτια των περισσότερων μαθηματικών δεν παύουν ποτέ να αποτελούν ένα παιχνίδι,όντας ταυτόχρονα και πολλά άλλα πράγματα ."                       
                                                                                                     Miguel de Guzman

  Ο Edouard Lucas (1842-91) ήταν Γάλλος μαθηματικός που μελέτησε την ακολουθία Fibonacci και την ακολουθία Lucas που φέρει τιμητικά το όνομα του ,το 1876 απέδειξε ότι ο αριθμός 2¹²⁷-1 είναι πρώτος, ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε μέχρι το 1951.Ο Lucas  έγινε γνωστός όμως χάρη σε ένα παιχνίδι το οποίο  παρουσίασε στο κοινό το 1883 με το ψευδώνυμο Mr Claus καθηγητή του κολεγίου Li-Sou–Stian.Παρατηρείστε ότι όνομα και κολέγιο είναι αναγραμματισμός του ονόματος του Lucas και του κολλεγίου Lycee Saint-Louis  όπου πραγματικά δίδασκε. Το Ανόι ήταν  η πρωτεύουσα του Βιετνάμ, μια χώρα εξωτική και μυστηριώδης αλλά παράλληλα και Γαλλική αποικία. Ποιος είπε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν χιούμορ.

.           

Το παιχνίδι περιγράφει γλαφυρά η παρακάτω ιστορία:

 «Στο μεγαλόπρεπο Ναό του Benares,ακριβώς στο κέντρο του ναού είναι στερεωμένο ένα μεταλλικό ορθογώνιο πλαίσιο, πάνω στο πλαίσιο  ήταν στερεωμένοι τρεις μεταλλικοί στύλοι ύψους δυο μέτρων ο καθένας. Στον ένα από αυτούς τους στύλους  κατά την  δημιουργία του κόσμου τοποθετήθηκαν 64 χρυσοί  κυκλικοί δίσκοι διαφορετικής διαμέτρου .Οι δίσκοι είναι τοποθετημένοι  κατά  τέτοιο τρόπο ώστε στην βάση του στύλου να βρίσκεται ο δίσκος με την μεγαλύτερη διάμετρο  και οι υπόλοιποι διατάσσονται κατά φθίνουσα σειρά από την μεγαλύτερη διάμετρο στην μικρότερη. (βλέπε σχήμα) Αυτός ο στύλος ονομάζεται ο πύργος του Βράχμα και  μέρα-νύχτα οι μοναχοί του μοναστηριού  μεταφέρουν τους κυκλικούς δίσκους από τον ένα στύλο στον άλλο, ακολουθώντας τους  δυο απαράβατους νομούς του Βράχμα, οι όποιοι απαιτούν  ότι ο μοναχός δεν πρέπει να  μετακινεί παραπάνω από ένα δίσκο την φορά ,καθώς επίσης δεν επιτρέπεται για κανένα λόγο να τοποθετήσει δίσκο μεγαλύτερης διαμέτρου πάνω σε κυκλικό δίσκο  μικρότερης διαμέτρου.Ο Θρύλος λέει ότι όταν όλοι οι δίσκοι μεταφερθούν από τον ένα στύλο στο άλλο  ο κόσμος θα μετατραπεί σε στάχτη και σκόνη.»

  Το πρόβλημα να βρεθεί ο αριθμός των κινήσεων που απαιτούνται για την μεταφορά και των 64 δίσκων. Φυσικά και δεν υπάρχει λόγος ανησυχίας, αποδεικνύεται  ότι για την μεταφορά ν δίσκων απαιτούνται 2^ν-1 κινήσεις, άρα για το συγκεκριμένο παράδειγμα αν για κάθε κίνηση απαιτείται 1 δευτερόλεπτο απαιτούνται 2⁶⁴-1 κινήσεις, ισοδύναμο χρονικά με 500.000.000.000 χρόνια.

Ας δούμε λίγο πως αντιμετωπίζεται το πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 4 δίσκους  για να τους μεταφέρουμε από τον στύλο Α στο στύλο Β. Δίνουμε αύξοντα αριθμό από το 1 μέχρι το 4 στους δίσκους από την κορυφή και κάτω. Οι κανόνες είναι απλοί:

1. Πάντα μεταφέρουμε του δίσκους με περιττή αρίθμηση στην πρώτη τους κίνηση από τον στύλο Α στον Γ,ενώ τους δίσκους με  άρτια αρίθμηση τους μεταφέρουμε στην πρώτη τους κίνηση από τον στύλο Α στον στύλο Β.

2. Μεταφέρουμε τον δίσκο 1 κάθε δεύτερη κίνηση , τον δίσκο 2 κάθε τετάρτη κίνηση τον δίσκο 3 κάθε όγδοη κίνηση κ.ο.κ. Ας δούμε διαδοχικά όλες τις κινήσεις στο παρακάτω σχήμα:

                                          

                                        

 Στην ηλεκτρονική διεύθυνση http://www.wolframalpha.com/input/?i=tower+of+hanoi
 μπορείτε να εισάγετε τον αριθμό των δίσκων και  να εμφανίζει  την λύση.
 Οι πύργοι του Ανόι είναι  δημοφιλής άσκηση σε εισαγωγικά μαθήματα προγραμματισμού καθώς απαιτείται συγκεκριμένος αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος. Το παιχνίδι-με πολύ λιγότερους δίσκους-βγήκε στο εμπόριο σε διάφορες εκδοχές του πάμπολλες φορές τα τελευταία 120 χρόνια.

Στον ιστότοπο puzzlemuseum.com-το μεγαλύτερο διαδικτυακό μουσείο παιχνιδιών, γρίφων, και πάζλ-βρίσκουμε την παρακάτω φωτογραφία που δείχνει τις διάφορες εκδοχές των πύργων του Ανόϊ.

 

Οι πύργοι του Ανόϊ επίσης εμφανίζονται: 

• Στην ιστορία επιστημονικής φαντασίας"Now Inhale",του Eric Frank Russell, ο ήρωας φυλακίζεται σε ένα πλανήτη που το τοπικό έθιμο επιβάλλει στον φυλακισμένο να παίξει ένα παιχνίδι, όποιο θέλει. Αν χάσει εκτελείται. Ο ήρωας γνωρίζει ότι ένα σκάφος  διάσωσης θα χρειαζόταν ένα έτος ή περισσότερο για να φτάσει στον πλανήτη, έτσι επιλέγει να παίξει τους Πύργους του Ανόι με 64 δίσκους.

• Στην cult σειρά επιστημονικής φαντασίας του 1966, Doctor Who, ο ήρωας παίζει ενάντια σε έναν σατανικό κατασκευαστή παιχνιδιών  μια παραλλαγή του παιχνιδιού με πυραμίδες  και 10 δίσκους.

• Το 2007 στο παιχνίδι με γρίφους της Nintendo με τίτλο Professor Layton and the Diabolical Box στους γρίφους 6,83 και 84  οι δίσκοι έχουν αντικατασταθεί με τηγανίτες.

• Το 2002 χρησιμοποιηθηκε ως δοκιμασία στο τηλεοπτικό παιχνίδι Survivor Ταϊλάνδης.

• Στην κινηματογραφική ταινία του  2011 με τίτλο Rise of the Planet of the Apes οι πύργοι του Ανόι χρησιμοποιούνται με την ονομασία ο πύργος του  Lucas  για να μετρηθεί η νοημοσύνη των πιθήκων.

ιι

 

• Οι Πύργοι του Ανόι χρησιμοποιούνται από τους ψυχολόγους για τη μέτρηση της λειτουργίας ή δυσλειτουργίας των προμετωπιαίων λοβών.

https://www.mathsisfun.com/games/towerofhanoi.html