Μαθη...μαγικά : Μαθήματα Ευρετικής:Ο Όιλερ,ο κανόνας του τυφλού και λοιπά…συναφή προβλήματα

Τετάρτη 23 Απριλίου 2014

Μαθήματα Ευρετικής:Ο Όιλερ,ο κανόνας του τυφλού και λοιπά…συναφή προβλήματα

Λέοναρντ Όιλερ(1707-1783)

"… ο Όιλερ έκανε υπολογισμούς χωρίς εμφανή προσπάθεια όπως οι άλλοι αναπνέουν ή όπως σηκώνονται οι αετοί στον αέρα.."

François Arago, Arago's Biographies of Scientific Men

Την περίοδο 1734-35,ο Ελβετός μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ (1707-1783) έγραψε ένα βιβλίο στοιχειώδους άλγεβρας με τίτλο «Εισαγωγή στην τέχνη του υπολογισμού, για χρήση στα γυμνάσια της αυτοκρατορικής Ακαδημίας Επιστήμων της Αγίας Πετρούπολης». Το βιβλίο χρησιμοποιήθηκε ως βασικό εγχειρίδιο αριθμητικής και άλγεβρας στα σχολεία της μητέρας Ρωσίας για πολλά χρόνια και παρότι φέρει το βάρος τριών αιώνων διαβάζεται άνετα καθώς χρησιμοποιεί αλγεβρικό συμβολισμό που δεν διαφέρει από τον σημερινό και καταδεικνύει όχι μόνο τον μαθηματικό αλλά και τον δάσκαλο Όιλερ.

Στο βιβλίο αυτό,ο Όιλερ προτρέπει:

Η απομνημόνευση των κανόνων υπολογισμού χωρίς κατανόηση ούτε αρκεί για να επιλυθούν όλες οι περιπτώσεις που μπορεί να προκύψουν ούτε οξύνει την διάνοια, κάτι που πρέπει να είναι ο πρωταρχικός στόχος της διδασκαλίας .Έχουμε συνεπώς προσπαθήσει σκληρά να εξηγήσουμε την λογική όλων των κανόνων και των πράξεων σε αυτόν τον οδηγό με τέτοιο τρόπο που ακόμα και άνθρωποι που δεν έχουν κάνει ακόμα προχωρημένες σπουδές μπορούν να τα κατανοήσουν και να τα αποδεχτούν.

Με αυτή την προσέγγιση ελπίζουμε να πετύχουμε το όφελος ότι τα παιδιά-εκτός του να αποκτούν την κατάλληλη δεξιότητα στο λογισμό- πάντα θα αντιλαμβάνονται την πραγματική λογική της κάθε πράξης στο μυαλό τους με αποτέλεσμα να συνηθίσουν σταδιακά να ακούγονται λογικά.

Αυτά, γιατί κάθε άνθρωπος πιάνει και συγκρατεί στο μυαλό του πολύ πιο εύκολα τα γεγονότα των οποίων βλέπει ξεκάθαρα την λογική και προέλευση, και είναι σε θέση επίσης να κάνει πολύ καλύτερα χρήση αυτών σε όλες τις περιπτώσεις που μπορεί να προκύψουν.

Ο Όιλερ παροτι υπήρξε o πιο παραγωγικός μαθηματικός που έζησε ποτέ και καταπιάστηκε σχεδόν με κάθε πεδίο των μαθηματικών της εποχής του,δεν θεώρησε ταπεινωτικό να αναλύσει και να καταδείξει τις εφαρμογές των εξισώσεων στην επίλυση περιγραφικών προβλημάτων.

Σταχυολογώ λοιπόν,χαρακτηριστικά προβλήματα .

1)Ένας πατέρας πεθαίνει και αφήνει στα παιδιά του την περιουσία του την οποία μοιράζουν ως εξής :

Το πρώτο παιδί παίρνει εκατό νομίσματα και το ένα δέκατο από τα υπόλοιπα.

Το δεύτερο παιδί παίρνει διακόσια νομίσματα και το ένα δέκατο από τα υπόλοιπα.

Το τρίτο παιδί παίρνει τριακόσια νομίσματα και το ένα δέκατο από τα υπόλοιπα.

Το τέταρτο παιδί παίρνει τετρακόσια νομίσματα και το ένα δέκατο από τα υπόλοιπα. κ.ο.κ

Στο τέλος βλέπουν ότι η περιουσία έχει μοιραστεί εξίσου σε όλα τα παιδιά.Πόση είναι η περιουσία,πόσα είναι τα παιδιά και τι πήρε τι καθένα;

Λύση

Το μερίδιο του κάθε παιδιού είναι x και όλη η περιουσία είναι y,τα μερίδια των παιδιών είναι:

Του πρώτου x=100+(y-100)/10

Του δευτέρου x=200+(y-x-200)/10

Του τρίτου x=300+(y-2x-300)/10 κ.ο.κ

Η διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών δεξιών μελών από τις παραπάνω εξισώσεις είναι

100-(χ+100)/10

Αν αυτή η διαφορά είναι 0 τότε χ=900 και άρα από την πρώτη εξίσωση λαμβάνουμε y=8100, τα παιδιά είναι 9.

2)Τρεις άνθρωποι παίζουν χαρτιά.Στο πρώτο παιχνίδι,χάνει ο πρώτος και πληρώνει στον καθένα από τους άλλους δυο τόσα χρήματα όσα έχει ο καθένας τους .Στο δεύτερο παιχνίδι,χάνει ο δεύτερος και πληρώνει στον καθένα από τους άλλους δυο τόσα χρήματα όσα έχουν εκείνη την στιγμή.Τελικά,στο τρίτο παιχνίδι,ο πρώτος και ο δεύτερος κερδίζουν ο καθένας από τον τρίτο όσα χρήματα είχαν προηγουμένως.Τότε σταματούν το παιχνίδι και βλέπουν πως έχουν από 24 νομίσματα.Με πόσα νομίσματα είχε ξεκινήσει ο καθένας το παιχνίδι ;

(Πάμπολλες …παραλλαγές του συγκεκριμένου προβλήματος έχω πετύχει στο καναδικό περιοδικό Crux)

Λύση
Έστω ότι τα αρχικά ποσά των τριών παικτών είναι x,y,z αντίστοιχα. Θα βοηθηθούμε να θεωρήσουμε x+y+z=s, όπου s=72.Πρέπει να εξετάσουμε τα ποσά που κατέχουν οι παίκτες σε τέσσερις διαφορετικές χρονικές στιγμές , μεταξύ δυο οποιωνδήποτε στιγμών μεσολαβεί ένα παιχνίδι,και το συνολικό ποσό που κατέχουν είναι σταθερά s:

Πρώτος παίκτης Δεύτερος παίκτης Τρίτος παίκτης

x y z

2x-s 2y 2z

4x-2s 4y-s 4z

8x-4s=24 8y-2s=24 8z-s=24

Για s=72 ,οι τρεις παραπάνω σχέσεις δίνουν x=39,y=21,z=12

Το επόμενο πρόβλημα έχει την ιδιαιτερότητα ότι οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τους αγνώστους,τέτοιου είδους προβλήματα ο Όιλερ τα έλυνε ακολουθώντας μια μέθοδο που την αποκαλούσε Regula Caeci (κανόνας του τυφλού).

3)Κάποιος αγόρασε χοίρους,γίδες και πρόβατα,συνολικά 100 με100 νομίσματα.Οι χοίροι του κόστισαν 3 ½ νομίσματα το κεφάλι,οι γίδες 1 και 1/3 νομίσματα το κεφάλι και τα πρόβατα ½ του νομίσματος το κεφάλι.Πόσα ζώα αγόρασε από κάθε είδος.

Λύση

Έστω x,y,z το πλήθος από χοίρους,γίδες και τα πρόβατα αντίστοιχα , που αγοράστηκαν.Τα χ,z είναι θετικοί ακέραιοι.Αν εκφράσουμε πρώτα το συνολικό πλήθος και έπειτα το συνολικό κόστος των νεοαποκτηθέντων ζώων παίρνουμε :

χ+y+z=100

(7/2) x+ (4/3)y+ (1/2)z=100 ή 21x+8y+3z=600

Αν απαλείψουμε το z και στην συνέχεια λύσουμε ως προς y , παίρνουμε y=60-18x/5 από το οποίο συμπεραίνουμε πως ο χ/5=t, πρέπει να είναι θετικός ακέραιος .

Αν χ=5 τότε y=60-18=42 , z=53

Αν χ=10 τότε y=60-36=24 , z=66

Αν x=15 τότε y=60-54=6 , z=79

Αν x>15 τότε η τιμή του y είναι αρνητική οπότε απορρίπτεται.