«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 24 Αυγούστου 2014

Προβλέψιμες ρουλέτες και μεροληπτικά νομίσματα. Η μπίλια κάθεται όπου θέλει ή μήπως πάλι όχι;

                                       
   «Τα μαθηματικά είναι η μόνη αλήθεια.Μην αφήνετε την πραγματικότητα να σας παραπλανά.»
                                                 
                                                           Αξίωμα του Δουβόνι, από τους νόμους του Μέρφυ

    Ανάρτηση από τον ορεινό Βάλτο ,το χωριό του πατέρα μου, Αμοργιανοί, Δήμος Ινάχου  με αφορμή μια χθεσινοβραδυνή διένεξη για το αν είναι δυνατόν να προβλεφθεί   η  κίνηση της μπίλιας στην ρουλέτα. Πρωινός καφές στην Αμφιλοχία κάπου με wi-fi , λίγο ψάξιμο στο διαδίκτυο  και ένα μικρο κείμενο για το τυχαίο, το στρίψιμο ενός κέρματος και το όνειρο του παίκτη της ρουλέτας..


                                      
    Η έκφραση «Να το στρίψουμε;» και ένα νόμισμα ανέκαθεν δήλωναν ότι η τύχη θα έχει τον τελικό λόγο  και το αποτέλεσμα θα ήταν απόλυτα αμερόληπτο.Η διευθέτηση μιας διαφοράς-όπως η σέντρα ενός ποδοσφαιρικού αγώνα-εξαρτάται από την πλευρά που θα προσγειωθεί ένα περιστρεφόμενο νόμισμα.Ποιος θα μπορούσε να ξέρει το αποτέλεσμα;Είναι έτσι;
    Θεωρητικά,αν γνωρίζουμε ακριβώς την θέση ενός νομίσματος,τον ρυθμό περιστροφής και τον χρόνο προσγείωσης του,θα μπορούσαμε  να υπολογίσουμε με ποια πλευρά θα πέσει. Μια μικροσκοπική αλλαγή σε οποιονδήποτε από αυτούς τους παράγοντες δεν θα μπορούσε δυνητικά να προκαλέσει ένα εντελώς διαφορετικό αποτέλεσμα; Ο Πέρσι Ντιακόνις ,μαθηματικός του πανεπιστημίου του Στάνφορντ στην Καλιφόρνια,αποφάσισε  να ελέγξει αν η ρίψη νομισμάτων είναι τόσο απρόβλεπτη όσο νομίζουμε.Εφόσον οι συνθήκες παραμένουν ίδιες οπότε στρίβουμε ένα νόμισμα,τότε,με βάση τα μαθηματικά θα προκύπτει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. Αναρωτήθηκε πόσο χαοτική είναι η ρίψη ενός νομίσματος;Τι θα συμβεί, αν παρέμβουμε ελάχιστα  στις αρχικές συνθήκες κατά πόσο  θα ενισχυθούν  οι αλλαγές, τόσο ώστε  μετά από λίγο  να μην μπορούμε να προβλέψουμε  αν θα προκύψει κεφάλι ή γράμματα;
 Ο Ντιακόνις-πατριωτάκι με καταγωγή από την Κάρπαθο-προτού γίνει καθηγητής μαθηματικών και αποκτήσει ακαδημαϊκή μαθηματική παιδεία έδινε παραστάσεις  ως μάγος  για ένα διάστημα δέκα ετών  με το ψευδώνυμο Πέρσι Γουόρεν. 
                                   
    H επαγγελματική κάρτα του Ντιακόνις ως μάγου Πέρσι Γουόρεν
                                    
  Με την βοήθεια μιας ομάδας μηχανικών από το πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ ,ο Ντιακόνις κατασκεύασε μια μηχανή ρίψης νομισμάτων η οποία μπορούσε να αναπαραγάγει  επαναληπτικά τις συνθήκες ρίψης. Αναμενόμενο, ήταν  να υπάρξουν απειροελάχιστες διαφορές  μεταξύ διαδοχικών ρίψεων. Θα οδηγούσαν όμως αυτές σε εντελώς  διαφορετικά αποτελέσματα;Ο Ντιακονις διαπίστωσε ότι κάθε φορά που επαναλάμβανε το πείραμα με το μηχάνημα του, το νόμισμα προσγειωνόταν πάντα με τον ίδιο τρόπο.
              
                                 PIC



                                 Statistician Persi Diaconis' mechanical coin flipper.                

                                            Η μηχανή ρίψης του Ντιακόνις
  
  Στην συνέχεια, εκπαίδευσε τον αντίχειρα του, ώστε να μπορεί να ρίξει το νόμισμα με πανομοιότυπο τρόπο κάθε φορά,κατόρθωσε να φέρνει 10 κορώνες στην σειρά.

    Τι συμβαίνει  όμως με τον μέσο άνθρωπο,που αλλάζει κάθε φορά  τον τρόπο με τον οποίο στρίβει ένα νόμισμα;Υπάρχει μεροληψία σε αυτήν την περίπτωση; Για να απαντήσει στο ερώτημα ο Ντιακόνις,χρειαζόταν έναν ειδικό σε περιστρεφόμενα αντικείμενα. Επί τούτου, λοιπόν συνάντησε τον Ρ.Μοντγκομερι, καθηγητή μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, υπεύθυνο για το θεώρημα της γάτας που πέφτει, μια θεωρία που εξηγεί γιατί μια γάτα προσγειώνεται πάντα στα πόδια της( από οποιασδήποτε γωνία και αν πέφτει).

                  

   Μαζί με την στατιστικολόγο Σούζαν Χολμς-μετέπειτα σύζυγο του- έδειξαν πως ένα περιστρεφόμενο νόμισμα που εκτινάσσεται με ένα τίναγμα του αντίχειρα, τείνει να προσγειώνεται με μια συγκεκριμένη πλευρά.
   Το ερώτημα τώρα, ήταν πως θα επαλήθευαν την θεωρία,έπρεπε να αναλύσουν προσεκτικά πως κινείται στον αέρα ένα περιστρεφόμενο νόμισμα. Αρχικά χρησιμοποίησαν την κάμερα ενός υπολογιστή ,αλλά η ανάλυση ήταν πολύ χαμηλή. Για την ακρίβεια κάθε κάμερα του εμπορίου εκείνη την εποχή δεν είχε την ανάλυση που απαιτείται.Η λύση δόθηκε από τον ηλεκτρολόγο μηχανολόγο Μπράιαν  Γουάντελ και την ομάδα του που δυο χρόνια νωρίτερα ,είχε κατασκευάσει μια ψηφιακή κάμερα υψηλής ταχύτητας, που λάμβανε 10000 καρέ το δευτερόλεπτο 400 φορές γρηγορότερα από μια συνηθισμένη βιντεοκάμερα. Με την χρήση της ,αιχμαλώτισαν την κίνηση ενός νομίσματος και μετέφεραν τα δεδομένα στο θεωρητικό μοντέλο τους. Το αποτέλεσμα εκπλήσσει: σε μια πραγματική ρίψη ενός νομίσματος εκδηλώνεται όντως μεροληψία, αν και μικρή; Στο 51% των περιπτώσεων το νόμισμα έτεινε να προσγειώνεται  καταλήγοντας να εμφανίζει  την ίδια πλευρά  με  εκείνη που έδειχνε  την στιγμή που εκτινασσόταν από τον αντίχειρα.       
  Για μικρό αριθμό ρίψεων,η διαφορά είναι ασήμαντη ,αλλά μακροπρόθεσμα  θα μπορούσε να αποδειχτεί πολύ σημαντική.Αυτοί που σίγουρα ενδιαφέρονται για τη μακροπρόθεσμη έκβαση, είναι οι υπεύθυνοι των καζίνο.Τα κέρδη τους εξαρτώνται  από τις μακροπρόθεσμες πιθανότητες.Σε κάθε ρίψη ζαριού ή σε κάθε περιστροφή της ρουλέτας, στηρίζονται στο γεγονός ότι εσείς δεν θα μπορέσετε να προβλέψετε τι θα φέρει το ζάρι ή που θα καθίσει η μπίλια. Ανάλογα με την ρίψη του νομίσματος, αν γνωρίζαμε τις αρχικές θέσεις της ρουλέτας και της μπίλιας καθώς και οι αρχικές ταχύτητες τους,θα μπορούσατε, θεωρητικά, εφαρμόζοντας νευτώνεια φυσική, να προσδιορίσετε την τελική θέση της μπίλιας. Αν γυρίσετε τη ρουλέτα από την ίδια ακριβώς θέση, με την ίδια ακριβώς ταχύτητα και ο κρουπιέρης ρίξει την μπίλια με τον ίδιο ακριβώς τρόπο,τότε η μπίλια θα καταλήγει πάντα στην ίδια θέση. Ακόμα και μια πολύ μικρή αλλαγή στις αρχικές θέσεις και ταχύτητες της ρουλέτας και της μπίλιας μπορεί να επηρεάσει δραματικά την τελική θέση της μπίλιας.
   Αυτό,όμως, δεν σημαίνει ότι τα μαθηματικά δεν μπορούν να μας βοηθήσουν να περιορίσουμε το πλήθος των τελικών θέσεων της μπίλιας.Για παράδειγμα,θα μπορούσε κάποιος αρκετά πείσμων και ικανός με την βοήθεια της τεχνολογίας  να παρακολουθήσει την μπίλια, καθώς κάνει αρκετές περιφορές μέσα στην ρουλέτα πριν ποντάρει, αρά να έχει την δυνατότητα να αναλύσει την τροχιά της και να προβλέψει τον τελικό προορισμό της.
Πόσο εφικτό είναι το παραπάνω σενάριο; Στον δικτυακό τόπο του BBC,( http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/4069629.stm) διαβάζουμε, ότι το 2004 , δυο Σέρβοι και μια Ουγγαρέζα με την παραπάνω μέθοδο τίναξαν στον αέρα τις ρουλέτες του καζίνο Ριτζ ,στο Λονδίνο. Τι ακριβώς έκαναν;

                                                        

   Χρησιμοποιώντας ένα σκάνερ με λέιζερ,κρυμμένο μέσα σε κινητό τηλέφωνο που συνδεόταν με υπολογιστή, κατέγραφαν την περιστροφή του τροχού της ρουλέτας ως προς την μπίλια για δυο πλήρεις περιστροφές. Στην συνέχεια ο υπολογιστής ανέλυε τις εικόνες και προέβλεψε ότι η μπίλια θα έπεφτε σε ένα τμήμα της ρουλέτας  αποτελούμενο από έξι αριθμούς. Κατά την διάρκεια της τρίτης περιστροφής του τροχού της ρουλέτας, οι παίκτες έβαζαν τα στοιχήματα τους. Έχοντας  αυξήσει  τις πιθανότητες νίκης από 1 προς 37 σε  1 προς 6, στοιχημάτισαν και στους έξι αριθμούς στο τμήμα που προβλεπόταν να καθίσει η μπίλια.Την πρώτη βραδιά τα κέρδη τους  ήταν 100000 λίρες. Την δεύτερη  βραδιά κέρδισαν το ποσό των 1.2 εκατομμυρίων λιρών.Τους συνέλαβαν ,έμειναν υπό κράτηση για εννέα μήνες, τελικά αφέθηκαν ελεύθεροι  και τους επέτρεψαν να κρατήσουν τα κέρδη τους. Το δικαστήριο απεφάνθη ότι δεν είχαν με  κανένα τρόπο «πειράξει» την  ρουλέτα.
  Οι παίκτες είχαν συνειδητοποιήσει πως μολονότι η ρουλέτα είναι χαοτική, μια μικρή αλλαγή στις αρχικές θέσεις της μπίλιας και του τροχού δεν οδηγεί πάντα σε τεράστιες αλλαγές στο αποτέλεσμα. Ο εκπρόσωπος τύπου του καζίνου του Ριτζ αρνήθηκε να σχολιάσει την απόφαση,αλλά ήταν βέβαιο ότι οι υπεύθυνοι του καζίνο και κάθε καζίνο θα έβρισκαν αντίμετρα.

Περισσότερα στα βιβλία :
1) Mathematical People, Profiles and Interviews, Donald J. Albers ,Gerald L. Alexanderson
2) Τα μυστήρια των αριθμών , Marcus du Sautoy, εκδόσεις τραυλός(ιδανικό  βιβλίο για παιδιά)   
3)Magical Mathematics ,P.Diaconis, R.Graham

Ιστότοποι αναφοράς:
3)http://www.random.org/coins/,,προσομοίωση ρίψης κέρματος με την τυχαιότητα που παρουσιάζει  ο ατμοσφαιρικός θόρυβος από τον αγαπημένο ιστότοπο των ραδιοφωνικών σταθμών για τις κληρώσεις τους, έτσι τουλάχιστον ισχυρίζονται οι παραγωγοί τους.

Στο παρακάτω βίντεο ο Ντιακόνις  περιγράφει τα αποτελέσματα των ερευνών του.

                  h

Επίδειξη μηχανών ρίψης νομίσματος στο Trinity Colegge του Δουβλίνου από τον Dot Samsen

                   

2 σχόλια:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...