H σοκολάτα του Φιμπονάτσι και λοιπά μαθηματικά θαύματα..

   

   Πρόσφατα, πήρε το μάτι μου μια έρευνα ,που ισχυρίζεται  ότι η σοκολάτα βελτιώνει τις μαθηματικές δεξιότητες. Όσο περισσότερη τόσο το καλύτερο :),μια  σοκολάτα που πολλαπλασιάζεται. Η σοκολάτα του Φιμπονάτσι…. 
  Αγοράζουμε μια σοκολάτα που αποτελείται από  64 μικρά τετραγωνικά κομμάτια, την κόβουμε  σε δυο τριγωνικά κομμάτια και δυο κομμάτια σχήματος τραπεζίου.(σχήμα 1)
Αναδιατάσσουμε τα 4 κομμάτια και σχηματίζουμε το ορθογώνιο του σχήματος 2 .Τώρα έχουμε 65 τετραγωνικά κομμάτια σοκολάτας. Πως αυξήθηκε η σοκολάτα; 

Η απάντηση προκύπτει από την ακολουθία Φιμπονάτσι.

 Γεωμετρικά το παραπάνω πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: θεωρούμε ένα τετράγωνο με πλευρά 8 μονάδων (μ), το οποίο χωρίζεται σε δυο τρίγωνα και σε δυο τραπέζια. Με τα τέσσερα κομμάτια, σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο πλάτους 5 μονάδων και μήκους 13 μονάδων. Όμως η επιφάνεια του τετραγώνου(64 μ²) θα ήταν ίση με εκείνη του ορθογωνίου (65 μ²),κάτι που θα αποδείκνυε ότι το 64 είναι ίσο με το 65.Το ερώτημα είναι, γιατί συμβαίνει αυτό, που  κρύβεται το 1 μ².H συγκόλληση των «τρίγωνων» στο δεύτερο σχήμα  δεν ήταν και τόσο αθώα, καθώς δεν είναι καν τρίγωνα.

  

Αλλά μπορούμε να αναλύσουμε το πρόβλημα περισσότερο και να δούμε πως

πάει πολύ πιο μακριά.Αν διατάξουμε τις διαστάσεις αυτών των διαφορετικών σχημάτων, καταλήγουμε στους αριθμούς 3,5,8,13.Παρατηρούμε ότι πρόκειται για διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Φιμπονάτσι. Ο Σκώτος μαθηματικός Ρ.Σιμπσον (ουδεμία σχέση με τον Όμηρο Σιμπσον) απέδειξε την σχέση:

                                                         F_n²=F_n-1*F_n+1+(-1)ⁿ

 Δηλαδή, το τετράγωνο ενός οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας ισούται με το γινόμενο του προηγούμενου όρου με τον επόμενο του αυξημένο (ή ελαττωμένο) κατά μια  μονάδα. Δείτε το παρακάτω σχήμα αλλά μην το παίρνετε και τοις μετρητοίς ίσως να μην βλέπετε και τόσο καλά!

Αν πάρουμε ένα τετράγωνο με πλευρά ένα οποιοδήποτε όρο από την ακολουθία Φιμπονάτσι (στο συγκεκριμένο παράδειγμα το 8)και ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές αντιστοιχούν στον προηγούμενο και στον επόμενο του όρο, (στο παράδειγμα 5 και 13)  η διαφορά εμβαδού στα δυο σχήματα θα ήταν μόνο μια  τετραγωνική μονάδα. Το  ορθογώνιο που πραγματικά προκύπτει  το βλέπετε στο παρακάτω σχήμα .Για πολύ μεγάλους όρους της ακολουθίας η διαφορά του 1 μ²  είναι σχεδόν ανεπαίσθητη στο ανθρώπινο μάτι.

Ένα παχυντικό διαγωνιστικό προβληματάκι

 http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/03/blog-post_7.html