Πυθαγόρειες τριάδες, μπορούν να είναι του…κουτιού;

     Ο Διόφαντος ήταν Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου το 250 μ.Χ , ασχολήθηκε με την θεωρία αριθμών.

  Τι έκανε ο Διόφαντος για να υπολογίσει όλες τις πυθαγόρειες τριάδες; Αν τον ρωτούσατε, θα  σας έλεγε -δεν υπήρχε ο αλγεβρικός συμβολισμός που χρησιμοποιούμε σήμερα -τα εξής:

 Επιλέξτε δυο θετικούς ακέραιους αριθμούς

● Διπλασιάστε το γινόμενο τους.

● Υπολογίστε την διαφορά ανάμεσα στα τετράγωνα τους.

● Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων τους.

Οι τρεις αριθμοί που θα έχετε υπολογίσει θα αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Για παράδειγμα,αν πάρουμε τους αριθμούς  2 και 1.Τοτε:

                  2x2x1=4 , 2²-1²=3 , 2²+1²=5

  Όπου λαμβάνουμε την πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5,αρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με  μήκη καθέτων πλευρών 3 και 4 ενώ η υποτείνουσα είναι 5.Ισχυει :5²=3²+4²

Αν είχαμε επιλέξει μεγαλύτερους αριθμούς,ας πούμε  τους 43 και 36 τότε

2x43x36=3096

43²-36²=1849-1296=553

43²+36²=3145

Πράγματι,ισχύει:3096^2+553^2=9585216+305809=9891025=3145^2

Τώρα, ποιο τρίγωνο θα έχει πλευρές 3096,553 και 3145 αυτό είναι άλλο ζήτημα.

Ο Διόφαντος επίσης γνώριζε ότι αν επιλέξουμε οποιαδήποτε πυθαγόρεια τριάδα και πολλαπλασιάσουμε κάθε αριθμό  της με  οποιοδήποτε θετικό ακέραιο προκύπτει επίσης πυθαγόρεια τριάδα.

Για παράδειγμα η πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5 αν πολλαπλασιάσουμε το 6 τότε προκύπτει 18-24-30 που είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα .

   Με την παραπάνω μέθοδο είναι εύκολο να κατασκευάσουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα που έχουν ακέραιες πλευρές και διαγώνιες. Επίσης, ανάλογα,μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο-ένα κουτί-με ακέραια μήκη ακμών και διαγωνίων των εδρών. Κάνεις, όμως μέχρι σήμερα δεν έχει κατορθώσει να κατασκευάσει  ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ακέραια μήκη ακμών, διαγωνίων ακμών και ακέραια μήκη διαγωνίων που ενώνουν απέναντι κορυφές. Ένα τέλειο κυβοειδές, το τέλειο κουτί.Σχηματικά:

  Θα πρέπει να ισχυει:α²+β²=p² , α²+γ²=q², β²+γ²=ρ², α²+β²+γ²=s²

Δεν έχει αποδειχτεί η ύπαρξη η όχι των αριθμών α,β,γ,p,q,s,ρ ,λέμε ότι πρόκειται για εικασία η ανοικτό πρόβλημα. Έχουν βρεθεί κάποιες προσεγγίσεις:

● α=240  ,β=117,γ=44 ,p=267  ,q=244  , ρ= 125 αλλά ο s δεν είναι ακέραιος.

● α=672  ,β=153 ,γ=104  ,q=680  ,s=697  , ρ= 185 αλλά ο p δεν είναι ακέραιος.

● α=18720  ,s=24961 ,γ=7800 ,p=23711  ,q=20280  ,ρ= 16511 αλλά ο β δεν είναι ακέραιος.

Αν υπάρχει το τέλειο κουτί είναι βέβαιο ότι θα εμπλέκει τεράστιους αριθμούς και σίγουρα η ακμή του θα είναι μεγαλύτερη από 2³²=4294967296   μονάδες μήκους.