«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 8 Μαρτίου 2016

Η ακολουθία του οκνηρού τεμαχιστή,ένας αναδρομικός τύπος και ο J.Steiner..

    
                 

  Σερβιτόρος:Πώς να σας κόψω την πίτσα,κύριε;

  Μεμάς:Κόψε την σε δυο κομμάτια,δεν πεινάω αρκετά για να φάω οκτώ!!!

   Ο Πάολο Σούρα διακρίνεται από δυο βασικά χαρακτηριστικά. Eίναι τεμπέλης και του αρέσουν οι πίτσες.Όπως και να έχει ο Πάολο είναι αυτό που λέμε οπαδός της ήσσονος προσπάθειας.Παραγγέλλει πίτσα και προσπαθεί να την κόψει σε όσα κομμάτια επιθυμεί με τον λιγότερο αριθμό ευθειών τομών με το μαχαίρι.Δεν τον ενδιαφέρει το μέγεθος ή το σχήμα των κομματιών (έτσι και αλλιώς τα τρώει όλα).Έχει εντρυφήσει στην τεχνική να κόβεις την πίτσα σε όσο το δυνατόν περισσότερα κομμάτια με όσο το δυνατόν λιγότερα κοψίματα.Αφού καταβρόχθισε εκατοντάδες πίτσες,παρατήρησε:







Καταγράφουμε τα αποτελέσματα σε ένα πίνακα: 
 


Ο Πάολο έτρωγε την πίτσα και σκεπτόταν αν υπήρχε τρόπος να υπολογίσει τον μέγιστο αριθμό κομματιών που προκύπτουν από ν ευθεία κοψίματα. Παρατήρησε καταρχήν, ότι για να προκύπτει ο μέγιστος αριθμός κομματιών κάθε ευθεία τομή με το μαχαίρι πρέπει να τέμνει όλες τις άλλες τομές, χωρίς τρεις οποιεσδήποτε τομές να τέμνονται στο ίδιο σημείο. 


Με το 1ο κόψιμο προκύπτουν 2 κομμάτια δηλαδή προστίθεται 1  νέο κομμάτι.


Με το 2ο κόψιμο προκύπτουν  4 κομμάτια δηλαδή προστίθεται 2  νέα κομμάτια.


Με το 3ο κόψιμο προκύπτουν  7 κομμάτια δηλαδή προστίθεται  3  νέα κομμάτια.


Με το 4ο κόψιμο προκύπτουν  11  κομμάτια δηλαδή προστίθεται  4 νέα κομμάτια.

Το μοτίβο αρχίζει να γίνεται εμφανές, με το ν-οστο κόψιμο στα ήδη υπάρχοντα κομμάτια . προστίθενται ν κομμάτια πίτσας . Είναι λογικό καθώς κάθε νέα τομή θα τέμνει τις ν-1 προηγούμενες και τα ν-1 σημεία τομής θα την διαιρούν σε  ν ευθύγραμμα τμήματα ,το καθένα από αυτά θα χωρίζει τα υπάρχοντα κομμάτια σε δυο μέρη. Έτσι προστίθενται ν νέα κομμάτια.

 Ο Πάολο σκέφτηκε ότι αν Π(ν) είναι το συνολικό πλήθος των  κομματιών που προκύπτουν από  την νιοστή τομή με το μαχαίρι θα ισχύει ο αναδρομικός τύπος :

                Π(ν)= Π(ν-1)+ν , ν=0,1,2….

Δεν του αρκούσε, ήθελε έναν τύπο που για δοσμένη τιμή του ν να επιστρέφει τον αριθμό των κομματιών. Τότε, σκεφτηκε ως εξής:

Για ν=1   ισχύει :Π(1)= Π(0)+1                  

Για ν=2   ισχύει :  Π(2)= Π(1)+2                   

Για ν=3   ισχύει : Π(3)= Π(2)+3                   

        .

Για ν=ν    ισχύει : Π(ν)= Π(ν-1)+ν                   

Προσθέτουμε κατά μέλη:

Π(1)+Π(2)+Π(3)+… +Π(ν-1)+Π(ν)=

Π(0)+Π(1)+1+Π(2)+2+Π(3)+3+…Π(ν-1)+ν

Π(ν)=Π(0)+1+ 2+ 3..+ ν   ( αλλα  1+ 2+ 3..+ ν =ν(ν+1)/2)

Π(ν)=1+ ν(ν-1)/2   ή     Π(ν)=[2+ν(ν+1)]/2 ή   Π(ν)=(ν2+ν+2)/2

Άρα ο μέγιστος αριθμός κομματιών Π(ν) που μπορούν να προκύψουν με ν ευθεία κοψίματα σε μια πίτσα είναι  (ν2+ν+2)/2.
   

 Βέβαια ,για να πούμε την αλήθεια, ο Πάολο δεν ήταν ο πρώτος που μελέτησε το πρόβλημα η αρχική τoυ  μορφή του προβλήματος μελετήθηκε  από τον Ελβετό μαθηματικό Jacob Steiner(1796-1863) με λίγο διαφορετική διατύπωση:


Jacob Steiner(1796-1863)
                                          
  Η πίτσα του Steiner ήταν άπειρη (ο Πάολο πολύ συχνά ονειρευόταν μια πίτσα απείρων διαστάσεων) δηλαδή ένα επίπεδο και αναρωτήθηκε ποιος είναι μεγαλύτερος αριθμός από χωρία-τομείς στα οποία θα χωριζόταν το επίπεδο με ν ευθείες.Στο παρακάτω σχήμα  η προφανής αναλογία :


 Η ακολουθία  1,2,4,7,11,16,22,..με τους  μέγιστους αριθμούς επιπέδων χωρίων που μπορούν να προκύψουν  με ν ευθείες  τομές σε οποιαδήποτε πίτσα ή άλλο παρεμφερές γευστικό έδεσμα (τηγανίτα,πίτα,..) ονομάζεται Ακολουθία του οκνηρού τεμαχιστή πίτσας (the Lazy Caterer's sequence)
 




Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...