Οι αριθμοί Έρντος,το Game of Thrones, οι 4,74 βαθμοί γνωριμίας στο Facebook και το μαντείο του Κέβιν Μπέικον

Πωλ Έρντος (1913 –1996)

  

     Μια εικασία που τέθηκε με τρόπο προφανή:

     Είναι η περιφέρεια  του κύκλου στρογγυλή;

     Σε μια δημοσίευση του Έρντος  που στα Κουρδικά έχει γραφεί

     ένα αντιπαράδειγμα έχει βρεθεί.

                                                                   Leo Mozer

  Διάβαζα τις προάλλες ότι στο κολέγιο Μακαλιστερ στην Μινεσότα,ο καθηγητής Α.Beveridge και οι φοιτητές του σχεδίασαν ενα δαιδαλώδες γράφημα με όλες τις  συνδέσεις των χαρακτήρων της δημοφιλούς τηλεοπτικής σειράς Game of thrones.Μελέτησαν το γράφημα και διαπίστωσαν ότι ο βασικός-εν ζωή στο σύμπαν της σειράς- χαρακτήρας της  είναι ο Tyrion Lannister .

Πρωτοτυπο; Οχι και τοσο.

 Οι παροικούντες στην χώρα των αριθμών γνωρίζουν πολύ καλά για τους αριθμούς Έρντος. Μια διαβάθμιση συνδέσεων που έχει πάρει χαρακτήρα δοξασίας. Ο Ούγγρος Πωλ Έρντος θεωρείται ο μαθηματικός ο όποιος συνεργάστηκε με τους περισσότερους ανθρώπους από οποιονδήποτε άλλο στον πλανήτη. Λέγεται ότι όσοι συνέγραψαν κάποια μαθηματική δημοσίευση μαζί του έχουν τον αριθμό Έρντος 1 (511 άτομα). Οι συνεργάτες αυτών έχουν αριθμό Έρντος 2 και ούτω καθεξής. Ο ίδιος ο Έρντος έχει αριθμό μηδέν.

Παραδείγματα αριθμών Έρντος:
 Στήβεν Χωκινς :  αριθμός Έρντος 4
Μπιλ Γκέιτς:  αριθμός Έρντος 4
 Άλμπερτ Αϊνστάιν:  αριθμός Έρντος 2
Νόαμ Τσόμσκι:  αριθμός Έρντος 4
Ρ. Οπενχάιμερ :  αριθμός Έρντος 4
    

  Αν ασχολείστε με τα μαθηματικά και δεν κάνετε δημοσιεύσεις με συνεργάτες, μην στεναχώριεστε, διεκδικείτε τον  αριθμό  Erdos 00(άπειρο).Υπάρχει και το γνωστό ποιηματάκι από τον μαθηματικό Leo Mozer:

Μια εικασία που τέθηκε με τρόπο προφανή:

Είναι η περιφέρεια  κύκλου στρογγυλή;

Σε μια δημοσίευση του Έρντος  που στα Κουρδικά έχει γραφεί

ένα αντιπαράδειγμα έχει βρεθεί.

                                                           

   Ο Έρντος σε συνέντευξη που έδωσε στον G. L. Alexanderson,το 1985 ,τόνιζε σκωπτικά αναφερόμενος στο ποιηματάκι :

Προσπάθησα  να δημοσιεύσω εργασία στα Κουρδικά ,δεν υπάρχει περιοδικό!!

   Η Αμερικανική μαθηματική εταιρεία(AMS) έχει αναπτύξει μια on line διαδικτυακή εφαρμογή (Mathscinet,Collaboration Distance)  που μπορεί να βρει όχι μονο τον αριθμό Έρντος σε όποιο πρόσωπο θέλετε , αλλά και τον βαθμό απόστασης μέσω κοινών δημοσιεύσεων ανάμεσα σε δυο οποιουσδήποτε  μαθηματικούς: Ο ιστότοπος είναι:

 http://ams.rice.edu/mathscinet/freeTools.html
  Η ιδέα είναι πολύ παλιότερη, βασίζεται στο «πρόβλημα του μικρόκοσμου» που παρουσίασε ο Στάνλει Μιλγκραμ το 1967.Σύμφωνα με αυτή, ανάμεσα σε δυο οποιοσδήποτε ανθρώπους στον πλανήτη μεσολαβούν έξι ενδιάμεσοι, δηλαδή κάθε δυο άνθρωποι στο πλανήτη απέχουν 6 βαθμούς γνωριμίας. Δεδομένης της ανάπτυξης των ιστοσελίδων κοινωνικής δικτύωσης   δεν θα ήταν άτοπος ο ισχυρισμός ότι οι ενδιάμεσοι ίσως είναι λιγότεροι. Σύμφωνα με έρευνα που πραγματοποίησε το πανεπιστήμιο του Μιλάνου σε 721 εκατομμύρια ενεργούς χρήστες του ιστότοπου κοινωνικής δικτύωσης Facebook  αρκούν κατά μέσο όρο 4,74 γνωριμίες για να συνδεθείτε με οποιονδήποτε.
 Τα κινηματογραφικό ανάλογο των αριθμών Έρντος είναι το «μαντείο του Κέβιν Μπέικον» (Oracle of  Kevin Bacon). Δεν πρόκειται για καμία νέα ταινία αλλά για ένα παιχνίδι που εφευρέθηκε το 1994 από δυο φοιτητές του Πανεπιστήμιου Reading στην Πενσυλβανία των Η.Π.Α και βασίζεται στην θεωρία των «έξι βαθμών απόστασης». Κάθε ηθοποιός θα μπορεί να συνδεθεί με τον Κέβιν Μπέικον είτε μέσω κοινών εμφανίσεων σε ταινίες  είτε μέσω κοινών εμφανίσεων με  ηθοποιούς που εμφανιστήκαν με τον Μπέικον και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα ο αριθμός Μπέικον του κορυφαίου μας κωμικού Θανάση Βέγγου είναι 3. Εμφανιζόταν μαζί με τον Χάρβεϊ Καιτέλ στην ταινία Το βλέμμα του Οδυσσέα(1995), ο Χάρβεϊ Καιτέλ εμφανιζόταν με την Νταιάνα Γουίστ στην ταινία  Μια αγάπη γεννιεται(1984) η Νταιάνα Γουίστ εμφανιζόταν με τον Κέβιν Μπέικον στην ταινία Footloose(1984). Ας δούμε πάλι τους αριθμούς, με αυτό τον τρόπο ο Κέβιν Μπεικον μπορεί να συνδεθεί  με 739,979 άτομα. Αυτό τι σημαίνει; Είναι ο Μπέικον ,το κέντρο του Χόλυγουντ; Μάλλον όχι ο κόσμος είναι πολύ μικρότερος από όσο φανταζόμαστε.

 

Οι μαθηματικοί Strogatz και Watts ,το 1998, δημοσίευσαν στο επιστημονικό περιοδικό Nature μια έρευνα για δίκτυα μικρόκοσμου. Στα συγκεκριμένα δίκτυα ορισμένοι κόμβοι  συνδέονται με πολλούς άλλους κόμβους. Για παράδειγμα στο δίκτυο στο σχήματος ο κόμβος Α συνδέεται με κόμβους σε αντίθεση με τους υπόλοιπους κόμβους.

Απέδειξαν ότι το μέσο μήκος διαδρομής μεταξύ δύο κόμβων σε ένα τυχαίο δίκτυο μικρόκοσμου είναι ίση με ln N/ln Κ, όπου Ν =συνολικός αριθμός κόμβων και Κ = μέσο πλήθος άμεσων γνωστών ανά κόμβο. Με την παραδοχή ότι αν N = 300.000.000 (90% του πληθυσμού των ΗΠΑ) και Κ = 30 τότε οι βαθμοί Διαχωρισμού είναι 19,5 / 3,4 = 5.7 και αν N = 6.000 εκατομμύρια (90% του παγκόσμιου πληθυσμού) και Κ = 30 τότε  οι βαθμοί Διαχωρισμού είναι 22,5 / 3.4 = 6.6.

(Το 10% του πληθυσμού είναι πολύ μικρό σε ηλικία  για να συμμετάσχει και εξαιρείται)

Το δένδρο με τις  συνεργασίες του Έρντος:  
                 

 Πηγή: Easley και Kleinberg (2010)

Δείτε και αυτό
 https://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/swn.pdf