«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 24 Απριλίου 2016

Το πρόβλημα των 9 κουκκίδων, η σκέψη έξω από το κουτί ,το αυγό του κολόμβου και το origami.



Το αυγό του Κολόμβου
  
    Είχε μια μεγάλη συζήτηση μόλις την προηγούμενη με την αδελφή της-επειδή η Αλίκη είχε αρχίσει με την φράση:«Ας κάνουμε στα ψέματα πως είμαστε βασιλιάδες και βασίλισσες.» και η αδελφή της που της άρεσε να είναι ακριβολόγα, έλεγε πως δεν μπορούσαν, γιατί ήταν μόνο οι δυο τους.Κι η Αλίκη υποχώρησε τελικά και είπε: «καλά, μπορείς εσύ να είσαι ένας και εγώ θα ‘μαι οι υπόλοιποι .»

                                                                         Λιούις Κάρολ, Μέσα στον καθρέπτη                 




  Κοινός τόπος στα ψυχαγωγικά μαθηματικά το παρακάτω πρόβλημα.

  Να σχεδιάσετε μονοκοντυλιά-χωρίς να σηκώσετε το μολύβι από το χαρτί-το πολύ τέσσερις ευθείες γραμμές  που να διέρχονται από κάθε κουκκίδα του παρακάτω τετραγώνου.




  Πρώτη γραπτή αναφορά του προβλήματος στο βιβλίο του Σαμ Λόιντ ,Cyclopedia of Puzzles του 1914 με τίτλο το αυγό του Χριστόφορου Κολόμβου (Christopher Columbus's Egg Puzzle).Ομως σίγουρα είναι πολύ παλιότερο.

  Παράλληλα είναι ένα πρόβλημα που χρησιμοποιήθηκε  ως δραστηριότητα από ψυχολόγους, (P.Watzlawick, R.Mayer, N. Maier,) για την μελέτη του μηχανισμού «απεμπλοκής» του νου στην επίλυση προβλημάτων. Είναι πολύ πιθανό ,αυτή η σπαζοκεφαλιά να έδωσε την προέλευση της έκφρασης «σκέψη έξω από το κουτί .»

Όσο αφορά την λύση πέρα από την κλασσική που δίνεται στο βιβλίο του Λοιντ (σχήμα 1)  υπάρχουν και άλλες εξαιρετικά ευρηματικές .

σχήμα 1 
  

                                         
Οι κουκκίδες θεωρούμε ότι είναι σημεία και δεν έχουν διαστάσεις αλλά όπως έχουν δοθεί στο χαρτί  μπορούμε να το εκμεταλλευτούμε και να κατασκευάσουμε το παρακάτω σχήμα με τρεις ευθείες γραμμές.

 
σχήμα 2
  


Άλλη προσέγγιση, είναι να σκεφτεί κανείς όχι στο επίπεδο του χαρτιού αλλά στον τρισδιάστατο χώρο. Τότε η λύση απαιτεί μόνο μια γραμμή.



       σχήμα 3




 

Λύση από την χαρτοδιπλωτική (origami),διπλώνουμε διαδοχικά το χαρτί μέχρι να βάλουμε  όλες τις κουκκίδες στην ίδια ευθεία!     


 σχήμα 4 

                                                                            

 Η κοινή συνιστώσα για κάθε μια από όλες τις παραπάνω λύσεις είναι ότι οι ευθείες πρέπει οπωσδήποτε να  προεκταθούν έξω από το τετράγωνο.    

  Για τις 9 κουκκίδες είδαμε  στο επίπεδο ότι απαιτούνται 4 ευθείες ,για περισσότερες; Το πρόβλημα γενικεύεται για μεγαλύτερο πλήθος κουκκίδων –όλες πρέπει να σχηματίζουν τετράγωνο- στον παρακάτω πινάκα βλέπουμε τον τύπο  που δίνει τον αριθμό των ευθειών που χρειάζονται για νxν κουκίδες.

Αριθμός κουκκίδων
Πλήθος ευθειών
3x3
(3+1)=4
4x4
(4+2)=6
5x5
(5+3)=8
6x6
(6+4)=10
    .
.
vxv
[ν+(ν-2)]=2(ν-1)









Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...