Αλφαμαγικά τετράγωνα 3x3, το δώρο μιας χελώνας,υπάρχουν 3x3 Φιμπονάτσι;;;

              

         
   Μαγικό τετράγωνο vxv ή τάξης ν ονομάζεται μια  τετραγωνική διάταξη  v² αριθμών έτσι ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής , κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου να είναι το ίδιο.

Δείτε το παρακάτω 3x3 (τρίτης τάξης) μαγικό τετράγωνο.

                                                               σχήμα 1

4+9+2=3+5+7=8+1+6=15, (άθροισμα γραμμών)

4+3+8=9+5+1=2+7+6=15,(άθρ. στηλών )

                                 8+5+2=4+5+6=15, (άθρ.διαγωνίων)

 Το κοινό άθροισμα γραμμών, στηλών, διαγωνίων ονομάζεται μαγική σταθερά.
    Η πρώτη καταγραφή μαγικού τετράγωνου εμφανίζεται στην Αρχαία  Κίνα . Ο θρύλος θέλει το μαγικό τετράγωνο με τους αριθμούς από το 1 μέχρι 9 (σχήμα 1) να αποτελεί  το ευρημα του  Κινέζου αυτοκράτορα  Yu του μεγαλόπρεπη χαραγμένο στο καβούκι μιας χελώνας στον Κίτρινο Ποταμό (Yangtse) το 200 π.Χ.                  

                                                   

  Το παραπάνω μαγικό τετράγωνο σε δυο παλαιότερες αναπαραστάσεις με Κινέζικα ιδεογράμματα και με κόμπους σε σκοινιά.

Τα μαγικά τετράγωνα για τους Κινέζους από τον 4^ο αιώνα π.Χ μέχρι τον 10^ο  αιώνα αποτέλεσαν μαγικό σύμβολο που φέρει μια ισχυρή αύρα μυστικισμού. Οι άρτιοι αριθμοί στο μαγικό τετράγωνο ενσαρκώνουν του Γιν ,την θηλυκή αρχή, ενώ οι περιττοί αριθμοί το Γιανγκ, την αρσενική αρχή. Ο  αριθμός 5 στο κεντρικό κελί συμβολίζει την Γη και  εκατέρωθεν  του βρίσκονται σε ισορροπία  τέσσερα στοιχεία: 4,9 συμβολίζουν τα μέταλλα,2 και 7 την φωτιά ,1 και  6 το νερό, 3 και 8 το ξύλο.

                     

  Ακόμα και στην μέρες μας στην Κίνα, χρησιμοποιούνται ως φυλακτά. Σήμερα παρουσιάζουν ενδιαφέρον για του θεράποντες των ψυχαγωγικών μαθηματικών καθώς είναι κοινός τόπος σε κάθε βιβλίο με θέμα  γρίφους και μαθηματικές σπαζοκεφαλιές.            

                                          Μενταγιόν-φυλακτό μαγικού τετραγώνου

 

Aλφαμαγικά τετράγωνα 

  Tο παρακάτω  3x3  τετράγωνο είναι «αλφαμαγικό»( alphamagic) διότι είναι μαγικό τετράγωνο και από τον αριθμό των γραμμάτων κάθε αριθμού προκύπτει ένα νέο μαγικό τετράγωνο .

Μαγικό  τετράγωνο Fibonacci;;

Διαγωνιστικό προβληματάκι  από το περιοδικό Komal.

«Υπάρχει μαγικό τετράγωνο τάξης 3x3 ,που στα κελιά του να βρίσκονται διαφορετικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci ; (Μπορούν να χρησιμοποιηθούν  οι όροι  f1,f2,   f1=f2=1).»

 Υπενθυμίζουμε ότι οι όροι της ακολουθίας Fibonacci  ορίζονται f0=0, f1=1,f2=1,.. γενικά f_n+2=f_n+f_n+1,κάθε όρος της ακολουθίας  προκύπτει από το άθροισμα των δυο προηγουμένων Μερικοί πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι: 0,1,1,2,3,5,8,…

Μια λύση ΕΔΩ

                            

Απο το βιβλίο του Κ.Carlo De Grandi (http://papaveri48.blogspot.gr/ ) για την ιστορία των μαγικών τετραγώνων παραθέτω-κατόπιν αδείας του- τα εξής:
 

Στην Ινδία γύρω στο 1500 μ.Χ., δημιουργήθηκαν μαγικά τετράγωνα διαστάσεων 4x4 για συγκεκριμένους σκοπούς. Για παράδειγμα:

- Για να ηρεμήσει ένα παιδί χρησιμοποιούσαν  ένα μαγικό τετράγωνο 4^ης τάξης με μαγική σταθερά το 84.

- Όσοι ταξίδευαν στην Ινδία είχαν μαζί τους ένα μαγικό τετράγωνο 4^ης τάξης με

   μαγική σταθερά το 34 για να τους προστατεύει από κάθε κακό.

- Κάθε πολεμιστής είχε επάνω του  ένα μαγικό τετράγωνο 4^ης τάξης με μαγική

   σταθερά το 64 για να το προστατεύει την ώρα της μάχης.

 
Στο ίδιο βιβλίο εντύπωση προκαλούν κάποια από τα είδη μαγικών τετραγώνων

1) Δισκελές ή Δίποδο

Καλείται το  Μαγικό Τετράγωνο  που είναι ελλιπές ως προς το 3^ο σκέλος κατά ένα αριθμό με Μαγική Σταθερά 12(Σχ.13).Το Δισκελές προκύπτει, από το κανονικό Μαγικό Τετράγωνο (3χ3), Lo-Shû, με Μαγική Σταθερά 15 (βλέπε Σχ.1), εάν από κάθε τετράγωνο αφαιρέσουμε τον αριθμό (1) π.χ. στην θέση του αριθμού (1) στο (Σχ.13) θέτουμε τον αριθμό(0),στη θέση του αριθμού (2) θέτουμε το αριθμό (1) κ.ο.κ.ε.

3	8	1
2	4	6
7	0	5

                                                                 Σχ.13

2) Απλό

Καλείται το  Μαγικό Τετράγωνο  που έχει ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε σχήμα τετράγωνο, ούτως ώστε το άθροισμα των αριθμών εκάστης οριζόντιας, κάθετης και των δύο εκατέρωθεν διαγωνίων του να είναι το αυτό, δηλαδή να  αποτελούν Μαγική Σταθερά 34 (Σχ.14).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

                                                                   Σχ.14

 

3) Ημί-Μαγικό

Καλείται το  Μαγικό Τετράγωνο του οποίου το άθροισμα οριζοντίως και καθέτως είναι το αυτό εκτός των δύο εκατέρωθεν διαγωνίων του. Ο Leonhard Euler

(1707-1783) χρησιμοποιώντας το πρόβλημα, της περιφοράς του Ίππου στη σκακιέρα, του Dr. A. Nauck, «Να ευρεθεί σειρά 64 κινήσεων με την οποίαν ένας Ίππος ξεκινώ-ντας από ένα τυχαίο τετράγωνο, σε μια άδεια σκακιέρα, να περάσει όλα τα τετράγωνα μια φορά το καθ’ ένα.», κατασκεύασε ένα Ημι-Μαγικό Τετράγωνο 8^ης τάξης που εκάστη οριζόντια και κάθετη γραμμή να έχει Μαγική Σταθερά  260 (Σχ.19),και έκαστο από τα 4 επί μέρους τετράγωνα η εκάστη οριζόντια και κάθετη γραμμή να έχει Μαγική Σταθερά 130 (βλέπε Σχ.18 α, β, γ, δ). Όπως επίσης και τα 4 κεντρικά τετράγωνα. 

2	23	25	7	8		11	2	25	18	9
4	16	9	14	22		10	12	21	6	16
21	11	13	15	5		4	7	13	19	22
20	12	17	10	6		23	20	5	14	3
18	3	1	19	24		17	24	1	8	15

                                           Σχ.18                                                Σχ.18α

                                        α                                    β    

1	48	31	50	33	16	63	18
30	51	46	3	62	19	14	35
47	2	49	32	15	34	17	64
52	29	4	45	20	61	36	13
5	44	25	56	9	40	21	60
28	53	8	41	24	57	12	37
43	6	55	26	39	10	59	22
54	27	42	7	58	23	38	11
γ                                δ

                                                         Σχ.19

 Στο ίδιο βιβλίο υπάρχουν πάμπολλες ιστορικές και όχι μόνο αναφορές στα μαγικά τετράγωνα και όσοι ενδιαφέρεστε μπορείτε να μεταβείτε στο ιστολόγιο του συγγραφέα και να ζητήσετε περαιτέρω πληροφορίες  (http://papaveri48.blogspot.gr/ )