Μαθη...μαγικά : Ακολουθία Φιμπονάτσι,Μπίγκολο ο κεφάλας και μια φάρσα !

Παρασκευή 27 Μαΐου 2016

Ακολουθία Φιμπονάτσι,Μπίγκολο ο κεφάλας και μια φάρσα !

Ταβέρνα Φιμπονάτσι

Στου Φιμπονάτσι το μαγαζί

κάθε μερίδα ζύγιζε όσο και οι δυο προηγούμενες μαζί

Ο Τζίμης ο χοντρός με τα μάτια μου το είδα.

Δεν χόρταινε αν δεν έτρωγε και πέμπτη μερίδα.

Από την ανέκδοτη ποιητική συλλογή

Μπίγκολο ο κεφάλας

Την δεκαετία του 90, πρωτοετής φοιτητής στο μαθηματικό τμήμα της Σάμου, έμπλεος μαθηματικής αθωότητας,πρωτάκουσα μέσω μιας φάρσας για την ακολουθία Φιμπονάτσι. Εκείνη την εποχή, η φοιτητική εστία δεν είχε κτιστεί και το πανεπιστήμιο στέγαζε τους φοιτητές του στον δεύτερο όροφο ενός ξενοδοχείου που το αποκαλούσαμε «Ίδρυμα». Όρος που ομολογουμένως πολύ απείχε από το πολιτικά ορθό, η ηλικία γαρ. Φανταστείτε τον όροφο ενός ξενοδοχείου που επικρατεί απόλυτη ησυχία και οι φοιτητές κινούνται ακροποδητί από δωμάτιο σε δωμάτιο με τις σημειώσεις τους υπό μάλης μιλώντας ψιθυριστά ,αυστηρά για τα μαθήματα και την εξεταστική.Το φανταστήκατε; Ε,λοιπόν,καμία σχέση με την πραγματικότητα. Το Ίδρυμα ήταν o απόλυτος οίκος τους χάους. Η ηρεμία ήταν ένα πουλί που δεν πέταξε ποτέ σε εκείνα τα μέρη για να θυμηθώ και το Λουντέμη. Φοιτητιώσα οργισμένη νεολαία με αλαλαγμό συναγελαζόταν στους διαδρόμους του «ιδρύματος» κάθε ώρα και στιγμή.Για ποιο λόγο; Έχει σημασία; Την επικείμενη εξεταστική, τα ποδοσφαιρικά ή τα δρώμενα στις κομματικές νεολαίες.Αθώες και όχι τόσο αθώες φάρσες είχαν την τιμητική τους.Ένας φοιτητής από την Πάτρα είχε ένα μίνι-κιτ ραδιοφωνικού σταθμού με εμβέλεια μόλις λίγα οικοδομικά τετράγωνα και εξέπεμπε από το δωμάτιο του. Μεταμεσονύκτιο τηλεφωνικό εγερτήριο για το υποψήφιο θύμα που του τίθεται έξαφνα η ερώτηση ποιος είναι ο τρίτος όρος της ακολουθίας Φιμπονάτσι.Η απάντηση, πιθανότατα σε άπταιστα «Γαλλικά» να μεταδίδεται ραδιοφωνικά σε κάθε φοιτητικό δωμάτιο του ιδρύματος. Βλέπετε, είχε γίνει ενημέρωση στην φοιτητική λέσχη.Μόνο τα θύματα ενίοτε δεν έβρισκαν τις φάρσες αυτές αρκούντως ξεκαρδιστικές. Έτσι, προέκυψε η απορία εκ μέρους μου: ποια είναι αυτή η ακολουθία Φιμπονάτσι; Δεν άργησα να μάθω ότι ήταν η διασημότερη ακολουθία στον κόσμο.

Μια ακολουθία δεν είναι τίποτα άλλο από μια σειρά αριθμών με αρίθμηση, ο πρώτος, ο δεύτερος ο τρίτος και πάει λέγοντας.

Είναι εύκολο να δημιουργήσουμε την ακολουθία Φιμπονάτσι (Fibonacci) αν θέσουμε τους δυο πρώτους όρους της ίσους με το 1 και συνεχίσουμε να προσθέτοντας τους δυο τελευταίους αριθμούς της για να πάρουμε τον επόμενο:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….

Η ακολουθία ανακαλύφθηκε από τον Λεονάρντο της Πίζα, γνωστότερο ως Φιμπονάτσι στις αρχές του 13^ου αιώνα. Φιμπονάτσι σημαίνει ο γιος του Μπονάτσιο, (στην Ιταλική γλώσσα Μπονάτσιο σημαίνει κάλος τυπάκος), τον αποκαλούσαν και Μπίγκολο, το όποιο άλλοι πιστεύουν ότι σημαίνει ταξιδιώτης και άλλοι χοντροκέφαλος.Δεν καταγόταν από την Μέση Γη αλλά από την πόλη Πίζα της Ιταλίας, εκεί, γεννήθηκε αλλά μεγάλωσε στην πόλη Bugia της σημερινής Αλγερίας καθώς ο πατέρας ήταν ανώτερος υπάλληλος ενός ιταλικού εμπορικού εργαστηριου.Μόνο χοντροκέφαλος δεν ήταν καθώς έδειξε ιδιαίτερη κλίση στα μαθηματικά από μικρή ηλικία, ενώ οι παιδαγωγοί του ήταν μουσουλμάνοι που χρησιμοποιούσαν το Ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης -αυτό που χρησιμοποιούμε και εμείς σήμερα-άγνωστο μέχρι τότε στην Ευρώπη.

Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1170-1250)

Ο Φιμπονάτσι ακολούθησε το επάγγελμα του εμπόρου και εισήγαγε το Ινδοαραβικό σύστημα στην Ευρώπη. Το πως και το γιατί είναι μια πολύπαθη ιστορία την οποία θα αναφέρουμε σε επόμενο λήμμα.

Ο Φιμπονάτσι και τα «αθάνατα» κουνέλια του!!

Ο Φιμπονάτσι ασχολήθηκε με το όνειρο κάθε κονικλοτρόφου,τα αθάνατα κουνέλια! Αστειεύομαι ,η αλήθεια όμως είναι ότι η ακολουθία του γεννήθηκε από την μελέτη ενός αριθμητικού προβλήματος που αφορούσε την αναπαραγωγή κουνελιών.Ο Φιμπονάτσι προτείνει το παρακάτω πρόβλημα:

Υποθέτουμε ότι τα κουνέλια ζευγαρώνουν στην ηλικία του ενός μήνα και ο χρόνος κυήσεως είναι ένας μήνας,πόσα κουνέλια θα έχουμε σε έναν χρόνο αν ξεκινήσουμε με ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών;

Για να μελετήσει αυτό το πρόβλημα έκανε τις παραδοχές:

1.Τα κουνέλια ποτέ δεν πεθαίνουν.

2.Η ηλικία γονιμοποίησης για κάθε ζευγάρι είναι ένας μήνας,οπότε και ξεκινούν το ζευγάρωμα.

3.Ο χρόνος κύησης είναι ένας μήνας και κάθε ζευγάρι γεννά πάντα στον ένα μήνα άλλο ένα ζευγάρι.

Πόσα κουνέλια θα έχουμε σε έναν χρόνο;

1.Το τέλος του πρώτου μήνα το ζευγάρι ζευγαρώνει, αλλά τα ζευγάρια είναι ακόμα ένα.

2.Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζευγάρι, έτσι έχουμε δύο ζευγάρια κουνελιών.

3.Στο τέλος του τρίτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γεννά ξανά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών ενώ το δεύτερο ζευγαρώνει κατά συνέπεια τα ζευγάρια είναι τρία.

4.Στο τέλος του τέταρτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γέννησε ακόμα ένα ζευγάρι αλλά και το δεύτερο ζευγάρι γέννησε και αυτό ένα ζευγάρι και έτσι φτάνουμε στα πέντε ζευγάρια.

Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Παρατηρούμε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αναμενόμενο καθώς στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε. Επομένως, αν αναλογιστούμε ότι ένα ζευγάρι γίνονται γονείς από τον δεύτερο μήνα και μετά, το πλήθος των γονέων – ζευγαριών (ίσο όπως είπαμε με το πλήθος των νεογέννητων ζευγαριών) είναι ίσο με το πλήθος των ζευγαριών που είχαμε τον προ-προηγούμενο μήνα.

Είναι προφανές, ότι ο Φιμπονάτσι έκανε κάποιες υποθέσεις που δεν στέκονται στον πραγματικό κόσμο: Τα κουνέλια φυσικά κάποτε πεθαίνουν και δεν υπάρχει κανένας λόγος τα νεογέννητα κουνέλια να είναι πάντοτε ζευγάρι (αρσενικό – θηλυκό ), ούτε και να ζευγαρώνει πάντα το θηλυκό με τον δίδυμο αδελφό του.Για την ιστορία, η απάντηση στο πρόβλημα μας είναι ότι έπειτα από δώδεκα μήνες θα έχουμε συνολικά 144 ζευγάρια κουνελιών.

Σε αντίθεση με τα κουνέλια του Φιμπονάτσι τα μακρινά ξαδέλφια τους,τα λαγουδάκια αυτόχειρες του γελοιογράφου Άντι Ρίλει πάντα πεθαίνουν!!!

Ο συμβολισμός για την ακολουθία δόθηκε για πρώτη φορά από τον Κέπλερ το 1611.Την περιέγραψε με τον αναδρομικό τύπο

F_n+F_n₊₁=F_n₊₂

όπου F_n είναι ο νιοστός όρος της ακολουθίας Φιμπονάτσι, F_o=0,F₁=1.

Η ακολουθία Φιμπονάτσι είναι ίσως ο πλέον κοινός τόπος στα ψυχαγωγικά μαθηματικά και βρίθει ιδιαιτεροτήτων και αξιοσημείωτων ιδιοτήτων. Φανταστείτε ότι, το 1963 ιδρύθηκε η Εταιρεία Φιμπονάτσι που έχει σαν κύριο σκοπό την ενδελεχή μελέτη της ακολουθίας.Εκδίδει μάλιστα και ένα περιοδικό που αναφέρει τα αποτελέσματα των ερευνών της.Το περιοδικό διατίθεται δωρεάν στο διαδίκτυο στον ιστότοπο: