Ένα πρόβλημα με πολλά..μηδενικά

   Καιρό έχουμε να τα πούμε.Τώρα,που καταστάλαξε το πρόγραμμα για την θερινή προετοιμασία και υπάρχει χρόνος, ένα ωραίο πρόβλημα από τον P. Halmos που λύνεται αρκεί να θέσουμε τα σωστά ερωτήματα.

   Να βρείτε το πλήθος των μηδενικών του αριθμού 1000000! (παραγοντικό)

(Υπενθύμιση 1000000!=1*2*3*4*5*….*999999*1000000)

    Μια πρώτη ιδέα είναι να ρωτήσουμε «πόσες φορές χωράει  το 10 στο 1000000;» και να δώσουμε το αποτέλεσμα,δηλαδή 100000,σαν απάντηση.Προφανώς είναι λανθασμένη προσέγγιση.Πράγματι το 1000000! αρχίζει με

                                                               1*2*3*4*5*6*…

Και βλέπουμε το 2 και το 5 να συνωμοτούν για να παράξουν δεκάρι που δεν περιέχεται στον αρχικό μας υπολογισμό.

Ας διορθώσουμε την ερώτηση:

 «πόσες φορές χωρεί το 5 στο 100000 και πόσες το 2;» 

 Αν το καλοσκεφτούμε,το 2 δεν πρέπει να μας προβληματίσει.Υπάρχουν όσα δυάρια θέλουμε για να τα ζευγαρώσουμε με τα πεντάρια που θα βρούμε.Πόσες λοιπόν φορές χωράει  το 5 στο 1000000;Απάντηση:200000.Είναι η σωστή απάντηση και επιλύει το πρόβλημα;

  Όχι,αλλά τώρα για άλλο λόγο.Η λέξη «χωραει»,που υπονοεί ακριβή διαίρεση, είναι παραπλανητική.Ας θεωρήσουμε την περίπτωση των μηδενικών στο τέλος του 10! .Η διαίρεση του 10 με το 10  δίνει την λανθασμένη απάντηση (ένα)  ενώ η διαίρεση του 10 με το 5 δίνει  την σωστή (2)

   Πραγματικά (με την βοήθεια του wolframalpha)  διαπιστώνουμε

                      10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800

     https://www.wolframalpha.com/input/?i=10!

Όμως ακόμα και αυτή η δεύτερη ερώτηση δεν είναι σωστή σκεφτείτε την περίπτωση του 11! ,θα έπρεπε το 11! να μην τελειώνει σε μηδενικό,όμως πάλι με την βοήθεια του wolframalpha  διαπιστώνουμε:

                      11!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11=39916800

https://www.wolframalpha.com/input/?i=11!!

Προφανώς περνώντας από 10!  Σε 11!  δεν χάνουμε μηδενικά.

Αλλάζουμε την ερώτηση  με σκοπό να αποφύγουμε τα μηδενικά του αρχικού αριθμού ( 1000000) είναι: 

   Πόσα πολλαπλάσια του 5 υπάρχουν κάτω ( συμπεριλαμβανόμενου και ) του 1000000;  

  Η απάντηση είναι 200000, όπως και για το 1000001,ενθαρρυντικό σημάδι. Η ερώτηση όμως παραμένει  ανεπαρκής, όπως παρατηρούμε εξετάζοντας τον αριθμό 30 ( η ακόμα και το 31)  αντί του 1000000.Υπάρχουν  6 πολλαπλάσια του 5 κάτω από το 31 , αλλά πάλι σύμφωνα με το wolframalpha  το   31! ττελειώνει σε 7 μηδενικά  και όχι ή 6

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=31!!)

Η αιτία είναι ότι το 31! εχει  6 πολλαπλάσια του 5

                                          5,10,15,20,25,30

Από τους οποίους ένας ο 25, συνεισφέρει δυο πεντάρια, άρα δυο μηδενικά στο τέλος.

Η σωστή διατύπωση  είναι: 
Pόσα 5 εμφανίζονται  στην διάσπαση  σε πρώτους παράγοντες όλων των θετικών ακεραίων έως και 1000000;  
 Εδώ τωρα τιθενται πολλές ερωτήσεις. Υπάρχουν

         200000  πολλαπλάσια του 5 έως και 1000000

        40000 πολλαπλάσια του 5²

        8000 πολλαπλάσια του 5³

        1600 πολλαπλάσια του 5⁴

        320 πολλαπλάσια του 5⁵

        64 πολλαπλάσια του 5⁶

Καθώς το 5⁷ δεν διαιρεί το 1000000,πρεπει να σταματήσουμε σε αυτό το σημείο; Ας προσθέσουμε  τα αποτελέσματα. Το άθροισμα είναι

200000+40000+8000+1600+320+64=249984

Αποτελεί απάντηση  στο αρχικό ερώτημα;

   Όχι, χρειάζεται  μια τελευταία προσπάθεια, Είναι αλήθεια ότι το 5⁷  δεν διαιρεί το 1000000 αλλά δεν έχει καμία σημασία. Αν ψάχναμε  τα μηδενικά στο τέλος του 1000001! Θα έχουμε ακολουθήσει  την ίδια διαδικασία  παρά το γεγονός  ότι  το 1000001!  δεν διαιρείται από κανένα  πολλαπλάσιο του 5.Το σημαντικό δεν είναι η διαιρετότητα αλλά η απαρίθμηση  όλων των πολλαπλάσιων  δυνάμεων  του 5  κάτω του 1000000. Έχουμε

                                      12  πολλαπλάσια του 5⁷

                                       2 πολλαπλάσια του 5⁸

 Και εδώ σταματάμε γιατί  το wolframalpha  μας πληροφορεί ότι  το 5⁹ είναι μεγαλύτερο από 1000000.Υπάρχουν  12 πολλαπλάσια του  5⁷ διότι

                    1000000/78125=12,8    (5⁷=78125)

Και το δεκαδικό μέρος δεν συνεισφέρει στο μέτρημα άρα τελικά 249984+14=249998 μηδενικά.

Bonus ,ωραίο τραγουδάκι από το Νιόνιο και τον Λάκη Παπαδόπουλο