Ένα απροσδόκητο διαγώνισμα και μια αμφιλεγόμενη διόρθωση. Είναι 6x4 =4x6;

Επιμενίδης: Ποια είναι η καλύτερη ερώτηση που μπορεί να διατυπώσει κάποιος και ποια η καλύτερη απάντηση που μπορεί να πάρει;

Βούδας: Η καλύτερη ερώτηση είναι αυτή που μόλις έκανες και η καλύτερη απάντηση αυτή που σου δίνω τώρα. 

   Από τους φανταστικούς διαλόγους του Σμούλιαν στο βιβλίο του,Ο Σατανάς,ο Καντόρ και το άπειρο.

     

   «Βγάλτε μια κόλλα χαρτί!» Αυτή η φράση έχει στοιχειώσει τον καθένα ως μαθητή.Όσες φορές χρειάζεται λόγω δουλειάς να την ξεστομίσω,φροντίζω να το κάνω όσο πιο απαλά και ανώδυνα (!) γίνεται. Εντάξει, αστειεύομαι,τα απροειδοποίητα διαγωνίσματα δεν συνηθίζονται στην παραπαιδεία της οποίας είμαι ένας ταπεινός θεράπων. Ένα διαγώνισμα όμως μπορεί να προκαλέσει λίγη παραδοξολογική κουβεντούλα!!  

  Την Δευτέρα, το πρωί ένας καθηγητής σε κάποιο σχολείο μπαίνει στην τάξη  και ανακοινώνει στα παιδιά:«Θα γράψετε ένα απροσδόκητο διαγώνισμα κάποια μέρα στην εβδομάδα.Μπορεί σήμερα,αύριο, Τετάρτη,Πέμπτη,Παρασκευή το αργότερο.Το πρωί  της μέρας που θα γράψετε το διαγώνισμα, κανένας σας δεν θα το περιμένει.»

  Ένας από τους μαθητές σηκώνει το χέρι του και αφού παίρνει το λόγο,λέει στον καθηγητή: «Προφανώς δεν πρόκειται  να γράψουμε το διαγώνισμα την Παρασκευή, διότι αν δεν έχουμε γράψει το διαγώνισμα μέχρι την Πέμπτη τότε   είναι σίγουρο ότι την Παρασκευή το πρωί θα το γράψουμε, αλλά  θα το περιμένουμε όλοι και δεν θα είναι απροσδόκητο.Άρα βγάζουμε εκτός την Παρασκευή έτσι ξέρουμε ότι η τελευταία πιθανή μέρα για το διαγώνισμα είναι η Πέμπτη.Αν δεν το έχουμε γράψει μέχρι την Τέταρτη  τότε σίγουρα θα το γράψουμε την Πέμπτη όποτε παύει πάλι  να είναι απρόσμενο ,άρα εξαιρούμε την Πέμπτη. Ανάλογα μπορούμε να εξαιρέσουμε την Τέταρτη, την Τρίτη και την Δευτέρα.» Άρα συνέχισε ο μαθητής «Δεν πρόκειται να γράψουμε διαγώνισμα αυτή την εβδομάδα!!»,«Ωραία»του είπε ο καθηγητής:«Βγάλτε τώρα μια κόλλα χαρτί!!» Οι μαθητές έγραψαν το διαγώνισμα  και..κάνεις τους δεν το περίμενε.

Ποιο ήταν το λάθος στο συλλογισμό του μαθητή; 

  Δεκάδες άρθρα έχουν γραφεί αναφορικά με το παραπάνω πρόβλημα.Αυτό που δεν είναι γνωστό ,είναι,ότι η έμπνευση του παραδόξου προέρχεται από μια αληθινή ιστορία.

  Κατά την διάρκεια του δευτέρου παγκοσμίου πολέμου το 1943,η εθνική Σουηδική Ραδιοφωνία ανακοίνωσε την διεξαγωγή  μιας  άσκησης  ετοιμότητας  για την Σουηδική πολιτοφυλακή. Ανακοίνωσε ότι την ερχόμενη εβδομάδα κάποια μέρα  από Δευτέρα  μέχρι Σάββατο  θα ηχήσουν οι σειρήνες τις άσκησης ετοιμότητας ,αλλά κανένας δεν θα γνωρίζει εκ των πρότερων ποια μέρα. Όπως και πραγματικά έγινε.Ένας Σουηδός μαθηματικός, ο Lennart Ekbom παρατήρησε κάτι παράξενο  σε σχέση με την ανακοίνωση της άσκησης ετοιμότητας,το έθεσε μάλιστα  στην τάξη των φοιτητών του στο Ostermalms College.Ισχυρίστηκε όπως μαντεύετε λοιπόν το εξής:

  Έστω ότι είστε επικεφαλής μιας από τις ομάδες της πολιτοφυλακής,και γνωρίζετε για την διεξαγωγή της άσκησης αλλά σίγουρα δεν θα γνωρίζετε την ημέρα της εβδομάδας την οποία θα διεξαγόταν. Η άσκηση πρέπει να είναι αναπάντεχη για όλους. Επόμενη λογική σκέψη ,αν έχει περάσει η εβδομάδα και έχουμε φτάσει στην Παρασκευή τότε η μοναδική μέρα που απομένει είναι το Σάββατο δεδομένου όμως ότι η άσκηση πρέπει να είναι απρόσμενη  εξαιρούμε το Σάββατο. Τώρα όμως η τελευταία μέρα διεξαγωγής είναι η παρασκευή  αν όμως μέχρι το απόγευμα της πέμπτης δεν έχει γίνει η άσκηση τότε αποκλείεται να γίνει την Παρασκευή γιατί θα είναι αναμενόμενη από όλους.Άρα εξαιρούμε και την παρασκευή με το ίδιο συλλογισμό μπορούμε να εξαιρέσουμε όλες τις ημέρες της εβδομάδας και να συμπεράνουμε ότι δεν θα πραγματοποιηθεί η άσκηση. Τρίτη πρωί, η άσκηση πραγματοποιείται. Υπάρχει λάθος στον συλλογισμό; 

  Υπάρχουν περαιτέρω  εκδοχές του παράδοξου, η κεντρική ιδέα όμως είναι η ίδια. Απαιτούνται πάντα δυο άνθρωποι, ένας ισχυρίζεται ένα γεγονός θα συμβεί και σίγουρα θα είναι απρόσμενο. Ο δεύτερος άνθρωπος ισχυρίζεται ότι οι συνθήκες  του πρώτου είναι αντιφατικές.Άρα το γεγονός δεν μπορεί να συμβεί. Αλλά παρ όλα αυτά συμβαίνει.Τόνοι μελάνης έχουν χυθεί για να παρουσιάσουν μια εξήγηση του παραδόξου, άλλα ίσως η πιο εύληπτη και κατανοητή ανάλυση  δόθηκε από τον μάγο των εκλαϊκευμένων μαθηματικών Μάρτιν Γκάρντνερ στο περιοδικό Scientific American. 

Μάρτιν Γκάρντνερ (1914 –2010)

 

   O Γκάρντνερ περιγράφει ένα άνδρα ο οποίος λέει στη σύζυγο του,ότι θα της κάνει ένα απρόσμενο δώρο για τα γενέθλια της. Ένα χρυσό ρολόι. Ο άνδρας έθεσε τους όρους.Τώρα η σύζυγος του χρησιμοποιώντας την λογική  σκέφτεται ότι  ο σύζυγος της δεν θα της έλεγε ψέματα.Εφόσον της είπε ότι το δώρο θα είναι απρόσμενο ,τότε θα είναι απρόσμενο αλλά τώρα προσμένει ένα χρυσό ρολόι . Άρα συμπεραίνει  σίγουρα δεν θα είναι ένα χρυσό ρολόι. Φυσικά όμως της δίνει ένα χρυσό ρολόι  και είναι απρόσμενο για αυτή αφού  με λογικό συλλογισμό είχε καταλήξει ότι  δεν θα είναι ένα χρυσό ρολόι.

  Ο Βρετανός Michael Scriven (πτυχίο μαθηματικών, διδακτορικό στην φιλοσοφία), το 1951, στο Περιοδικό Mind  αναδιατυπώνει το παραπάνω παράδοξο σε ένα πείραμα με ένα αυγό. Έστω ότι κάποιος τοποθετεί εμπρός στο πειραματόζωο 10  πανομοιότυπα κλειστά κουτιά  αριθμημένα από το 1 μέχρι το δέκα. Σε ένα από τα κουτιά υπάρχει ένα αυγό αλλά δεν αποκαλύπτεται σε ποιο. Ο διοργανωτής του πειράματος λέει:Άρχισε να ανοίγεις τα κουτιά από το 1 μέχρι το 10 σου εγγυώμαι ότι όταν θα βρεις το αυγό δεν θα το περιμένεις.

  Το πειραματόζωο ανθίσταται λέγοντας: Το αυγό δεν βρίσκεται στο κουτί Ν^ο10,διότι αν ανοίξω όλα τα κουτιά μέχρι το Ν^ο 9 και δεν υπάρχει σίγουρα θα είναι στο κουτί Ν^ο 10 και δεν θα είναι απρόσμενο για μένα. Έτσι μπορώ να εξαλείψω την πιθανότητα να βρω το αυγό σε όλα τα κουτιά αρχής γενομένης από το 1. Μαντεύετε την συνέχεια. 

Πρόσφατα πήρε το μάτι μου διαδικτυακή κόντρα στην οποία το μήλο της έριδος ήταν αν έπρεπε να μεμφθεί μαθητής γυμνασίου που έγραψε x+1=0 τότε x=-1.Ναααα μια κάμηλος*. Είμαστε οι μόνοι που το κάνουμε;

Λάθος διόρθωση; 4x6=6x4 ή μήπως όχι;

 

   Δημοσίευμα του Σεπτεμβρίου του 2014 στον δικτυακό τόπο της εφημερίδας της Kicker  Daily News  με θέμα  το γραπτό μιας μαθήτριας στην Τζακάρτα της Ινδονήσιας. Όλα άρχισαν όταν ο φοιτητής του πολυτεχνείου Muhammad Erfas Maulana πόσταρε σε δικτυακό τόπο κοινωνικής δικτύωσης την εργασία της μικρής του αδελφής στα μαθηματικά και την διόρθωση που της έκανε ο δάσκαλος. (δείτε Φώτο). Αμέσως ξεκίνησε μια αντιδικία ανάμεσα σε αυτούς που υποστηρίζουν ότι ο δάσκαλος διόρθωσε σωστά την εργασία και σε αυτούς που πιστεύουν ότι την αδίκησε. Ως νεοέλληνας  αρνούμαι κατηγορηματικά να πάρω θέση, μόνο  καταδεικνύω το γεγονός. Για να μην λέτε ότι μόνο στο δικό μας εκπαιδευτικό σύστημα διυλίζουμε το κώνωπα και καταπίνουνε την..κάμηλο!! 

 
Κάμηλος είναι το χοντρό σχοινί που χρησιμοποιούν οι ναύτες για να δέσουν τα πλοία στις προβλήτες.