Ένα ωραίο πρόβλημα μου έστειλε,και τον ευχαριστώ ,ο Carlo De Grandi (http://papaveri48.blogspot.gr/) το οποίο προέρχεται από το ανέκδοτο βιβλίο του με τίτλο:
"Τα Μαθηματικά
της Παρέας" από το κεφάλαιο
"Προβλήματα Γεωμετρικής Προόδου".
"Ένας Ρώσος στρατιώτης, ήρωας πολέμου, ανταμείφθηκε για τα
τραύματα που υπέστη στο πεδίο της μάχης με τον εξής περίεργο τρόπο:
Για το πρώτο τραύμα του έδωσαν 1 δρχ.Για το δεύτερο
τραύμα του έδωσαν 2 δρχ. Για το τρίτο τραύμα του έδωσαν 4 δρχ. κ.ο.κ.ε.
μέχρι το τελευταίο τραύμα που είχε στο σώμα του. Τελικά από την παράξενη αυτή
συναλλαγή αποκόμισε το ποσόν των 65.535 δρχ. Πόσα ήταν τα τραύματά του;"
Μια λύση στα σχόλια
Κύριε Δρούγα καλημέρα σας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚατ'αρχήν σας ευχαριστώ για τις δύο αναρτήσεις των προβλημάτων μου που σας έστειλα.
Στη λύση του ανωτέρω προβλήματος να τεθούν ως εκθέτες τα κάτωθι:
Σο=α+α*ω+α*ω^2+α*ω^3+...+α*ω^(n - 1)
Σο=1*2^0+1*2^1+1*2^2+1*2^3+...+1*2^(n - 1)=
1+2+4+8+…+1*2^(n - 1)
Σο= α[(ω^n)-1)]/(ω-1)
Σο= α[(ω^n)-1)]/(ω-1)ή 65.535=α[(2^n)-1)]/(2-1) ή
65.535 =[(2^n)-1] ή 2^n = 65.536
2^n = 65.536
2^16 = 65.536
Φιλικά,
Carlo de Grandi
To αλλαξα κ.Carlo
ΔιαγραφήΛύση(De Grandi)
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα τραύματά του ήταν 16. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
Το σύνολο των χρημάτων που πήρε ο στρατιώτης είναι ίσον με το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου με λόγο το 2:
Σο=α+α*ω+α*ω^2+α*ω^3+...+α*ω^(n - 1)
Σο=1*2^0+1*2^1+1*2^2+1*2^3+...+1*2^(n - 1)=
1+2+4+8+…+1*2^(n - 1)
Βάσει του τύπου του Σο= α[(ω^n)-1)]/(ω-1) αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου βρίσκουμε τον τελευταίο όρο της γεωμετρικής προόδου:
Σο : Το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής προόδου. 65.535
α : Ο πρώτος όρος. 1
ω : Ο λόγος. Είναι ο σταθερός αριθμός, ο οποίος
προστίθεται σ’ έναν όρο για να δώσει τον επόμενο όρο.
Καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου. 2
n : Το πλήθος των όρων της γεωμετρικής προόδου. ;
Σο= α[(ω^n)-1)]/(ω-1) ή65.535=α[(2^n)-1)]/(2-1) ή
65.535 =[(2^n)-1] ή 2^n = 65.536
Διερεύνηση:
Από τ’ ανωτέρω βλέπουμε ότι γεωμετρική πρόοδος αποτελείται από μια αύξουσα σειρά της δυνάμεως του δύο. Δίδοντας στο "n" τις τιμές από το 0 έως το n βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι n = 16.
Πράγματι το2^n = 65.536 άρα
2^16 = 65.536 ο.ε.δ.