«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 28 Οκτωβρίου 2016

Εικοσιέξι φορές κόκκινο. Το σόφισμα του τζογαδόρου, ο Πασκάλ και ο Γιάννης





  
    Αν κοιτάξει κανείς τις καμπύλες εξέλιξης της μείωσης της γεννητικότητας στην Γερμανία και την μειώσεις του πληθυσμού των πελαργών στην ίδια χώρα την περίοδο 1965-1987,θα διαπιστώσει χωρίς έκπληξη ότι είναι πανομοιότυπες.Μια ισχυρή ένδειξη ότι τα παιδιά τα φέρνουν οι πελαργοί!!

                                                                                              

                                                                           Βάρδος Σλόγκαν



Πάλι τζακ ποτ στο Τζόκερ σήμερα,έτσι μια ανάρτηση βγαλμένη από τα έγκατα του κουβά.
Όταν κάποτε ρώτησαν τον Ουίνστον Τσόρτσιλ αν έπρεπε να τα ξανακάνει όλα από την αρχή,θα άλλαζε κάτι; Έδωσε μια πληρωμένη απάντηση: Ναι, μακάρι να είχα παίξει το μαύρο αντί του κόκκινου στις Κάννες και στο Μόντε Κάρλο.

 Δεν είχαν όλοι την ίδια γνώμη. Το καλοκαίρι του 1913, στο καζίνο του Μόντε Κάρλο σε ένα τραπέζι της ρουλέτας σημειώθηκαν 26 διαδοχικές εμφανίσεις του κόκκινου.Αν υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να έρθει κόκκινο είναι 18/37 (θυμηθείτε υπάρχει και το μηδέν) η πιθανότητα να εμφανιστεί μια τέτοια ακολουθία είναι: (18/37)26=0,000000007308702880. Περίπου  1 στα 143 εκατομμύρια!! 

Όσοι ήταν παρόντες πίστευαν ότι η πιθανότητα η 27η ρίψη της μπίλιας  να καθίσει πάλι στο κόκκινο  είναι κατά πολύ μικρότερη από το να καθίσει στο κόκκινο. Είχαν δίκιο;

  Ας σκεφτούμε έναν αργόσχολο τύπο σε ένα καζίνο, ο οποίος έχει  λίγα χρήματα και την δυνατότητα να  περιδιαβαίνει χαζεύοντας  στα τραπέζια της ρουλέτας μέχρι να  παρατηρήσει σε κάποιο από αυτά ένα σερί της κόκκινης ή της μαύρης μπίλιας . Μόλις εντοπίσει ένα τέτοιο σερί  τότε ποντάρει στο άλλο χρώμα.Έχει σκεφτεί ως εξής:Οι πιθανότητες η μπίλια να πέσει στο μαύρο ή στο κόκκινο είναι περίπου 50-50  για κάθε νούμερο( περίπου γιατί υπάρχει το μηδέν ή το διπλό μηδέν που είναι υπέρ της μπάνκας). Δηλαδή κατά μέσο όρο αν η ρουλέτα γυρίσει  20 φορές τότε αναμένεται η μπίλια να σταθεί 10 φορές στο κόκκινο και 10 φορές στο μαύρο. Αν τώρα αν υπάρχει ένα σερί στο κόκκινο η στο μαύρο τότε  ποντάρει στο άλλο χρώμα διότι του το «χρωστάει» η μπίλια .

   Αυτή η εσφαλμένη αντίληψη  αποτελεί την πλάνη ή αλλιώς το σόφισμα του τζογαδόρου. O παίκτης αναμένει από την μπίλια ένα συγκεκριμένο χρώμα με βάση τα προηγούμενα αποτελέσματα  αγνοώντας ότι η μπίλια δεν έχει  «μνήμη».

 Το παράδειγμα είναι πανομοιότυπο με την ρίψη ενός κέρματος, η πιθανότητα να φέρουμε κορώνα 7 φορές είναι 1 στις 128.Άρα ο τζογαδόρος σκέπτεται ότι  αν έχει έρθει γράμματα  6 φορές η πιθανότητα να έρθει πάλι  γράμματα και την 7η φορά είναι 1 προς 128.Αυτό είναι όμως λάθος. Η πιθανότητα να φέρει ένα νόμισμα  γράμματα είναι  50-50.Το νόμισμα δεν έχει μνήμη για το τι συνέβη τις προηγούμενες  6 φορές . Η πιθανότητα 1 προς 128 αφορά μόνο την συνεχόμενη ακολουθία  7  γραμμάτων. Άρα τελικά ίσως και να...μην γυρίσει!!  

 Ο Γιάννης ένας φίλος μου, μαθηματικός,εξαιρετικά ορθολογιστής, τα τελευταία 15 συναπτά έτη παίζει στο τζόκερ τα ίδια 6 νούμερα  όντας σίγουρος  ότι κάποια στιγμή θα κληρωθούν. Πόσο δίκιο έχει; Την απάντηση στον Γιάννη παρότι είμαι βέβαιος ότι δεν το είχε σκοπό την δίνει ο Γάλλος  μαθηματικός  Μπλαιζ Πασκάλ στους περίφημους «στοχασμούς» του. Ο Πασκάλ χρησιμοποίησε τις πιθανότητες  για να "αποδείξει"  την αλήθεια του δόγματος της καθολικής εκκλησίας. Η  συλλογιστική  του είναι γνωστή ως  "το στοίχημα του Πασκάλ".



Γράφει λοιπόν ο Πασκάλ:

« Κανείς δεν μπορεί να αποφασίσει χωρίς αμφιβολία  εάν πρέπει να αποδεχτεί  ή να απορρίψει  το δόγμα της καθολικής εκκλησίας.Μπορεί να είναι αληθινό.Μπορεί να είναι ψευδές.Είναι σαν να ρίχνεις ένα νόμισμα: οι πιθανότητες είναι ίσες .Όμως, είναι ίσες και οι απώλειες και τα κέρδη; Ας υποθέσουμε ότι  απορρίπτουμε την εκκλησία.Αν το δόγμα της είναι ψευδές,δεν θα έχουμε χάσει τίποτα. Όμως εάν είναι αληθινό,θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε ατελείωτα βάσανα στην κόλαση.Ας υποθέσουμε ότι αποδεχόμαστε  το δόγμα  της εκκλησίας.Αν είναι ψευδές,δεν θα έχουμε κερδίσει  τίποτα.Όμως εάν είναι αληθινό,θα έχουμε την αιώνια ευδαιμονία στον παράδεισο.»


   Η παραπάνω συλλογιστική έχει χρησιμοποιηθεί συχνά για να προκαλέσει την εκπλήρωση των θρησκευτικών εντολών.Ο Πασκάλ ισχυρίζεται ότι παρότι η πιθανότητα να είναι αληθινές είναι μικρή, επειδή το αναμενόμενο κέρδος από την εκπλήρωση τους είναι άπειρο, η ελπίδα του στοιχήματος αξίζει τον κόπο. Ένας διαισθητικός συλλογισμός του ιδίου τύπου θα έλεγε ο Πασκάλ στον Γιάννη είναι αυτός που γίνεται στα παιχνίδια με ελάχιστες πιθανότητες επιτυχίας, αλλά που προσφέρουν σημαντικά βραβεία (Λόττο, Τζόκερ, προπό και λοιπά παίγνια) ,και αυτή είναι η βάση της  επιτυχίας τους. Η πιθανότητα να κερδίσουμε ένα μεγάλο βραβείο είναι μικρή, όμως αν μας πέσει θα γίνουμε ξαφνικά πλούσιοι.


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...