«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 28 Οκτωβρίου 2016

Ένας τέλειος γρίφος για τέλειους αριθμούς ….


 


«Το έξι είναι τέλειος αριθμός αφ ‘αυτού  και όχι επειδή ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο σε εξι ημέρες,μάλλον το αντίστροφο ισχύει.Ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο  σε έξι ημέρες  επειδή ο αριθμός έξι είναι τέλειος..»

                                     Η πολιτεία του Θεού, Άγιος Αυγουστίνος (354-430)

  



    Αυτές τις μέρες πήρε το μάτι μου στο διαδίκτυο έναν ωραίο γρίφο με τους τέλειους αριθμούς και είπα να τον ανεβάσω στο ιστολόγιο καθώς και μερικά στοιχεία για αυτούς, το ανεβάζω επετειακά σήμερα 28 του μηνός.

 Ένας αριθμός λέγεται τέλειος όταν το άθροισμα των διαιρετών του (εκτός του ίδιου) μας δίνει τον αριθμό.

Για παράδειγμα,ο αριθμός 28 είναι τέλειος γιατί οι διαιρετές του 28 είναι 1,2,4,7,14 και το άθροισμα αυτών:

                                                1+2+4+7+14=28



Μέχρι το 1952 ήταν γνωστοί μόνο 12 τέλειοι αριθμοί, όλοι άρτιοι, και οι τρεις πρώτοι από αυτούς ήταν οι 6,28 και 496.Ο  Ευκλείδης στα στοιχεία του απέδειξε ότι όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι πάντοτε γινόμενο μιας δύναμης του 2 επί την επόμενη δύναμη του 2 μείον 1.     ( 2ν−1(2ν − 1)  τέλειος )

Για παράδειγμα:

                            6 = 21.(22-1 )      ,        28 = 22.(23-1 )    ,   496 = 24.(25-1 ) 

Βέβαια ισχύει ότι ο αριθμός   2ν−1(2ν − 1)  είναι τέλειος αν ο 2ν – 1  να είναι πρώτος και κατ επέκταση  πρώτος  είναι και ο v. 
Πολλά χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο τύπος 2ν−1(2ν − 1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς.

   Στα 1952 με την βοήθεια του υπολογιστή της εποχής SWAC και τον τύπο του Ευκλείδη ανακαλύφθηκαν  5 ακόμα τέλειοι αριθμοί για ν= 521,607,1729,2203 και 2281

Στα 1957 με τον Σουηδικό υπολογιστή BESK  βρέθηκε άλλος ένας για ν= 3217 και στα 1961 με έναν υπολογιστή IBM 7090 βρέθηκαν άλλοι δυο για ν=4253 ,4423, Δεν υπάρχουν άλλοι τέλειοι αριθμοί  για ν<5000.Εκτοτε,αποδείχτηκε ότι οι τιμές για ν=9689,9941,11213,19937,21701,23209 και 44497 δίνουν τέλειους αριθμούς.

Ο G.Hardy έγραφε: «Οι τέλειοι αριθμοί είναι τόσο σπάνιοι όσο και οι τέλειοι άνθρωποι.» Δεν ξέρω για ανθρώπους αλλά σίγουρα οι τέλειοι αριθμοί είναι εξαιρετικά σπάνιοι αφού υπάρχουν μόνο 3  τέτοιοι αριθμοί μικρότεροι του 1.000, ένας τέλειος μεταξύ 1001 – 10.000, ενώ μεταξύ 10.001 – 100.000.000   εντοπίζουμε μόνο ένα τέλειο. Μέχρι το 2016 έχουν βρεθεί 49 τέλειοι αριθμοί,όλοι με τον τύπο του Ευκλείδη και την βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών καθώς έχουν εκατομμύρια ψηφία.Ο 49ος για παράδειγμα έχει 44,677,235 ψηφία.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_perfect_numbers

Άλυτα ερωτήματα
1.Υπαρχουν άπειροι τέλειοι αριθμοί;
2.Υπαρχει περιττός τέλειος αριθμός;



Προβληματάκι 

 Να αποδείξετε ότι οι τέλειοι αριθμοί αν είναι άρτιοι έχουν τελευταίο ψηφίο 6 ή 8.



Μια λύση  στα σχόλια 







5 σχόλια:

  1. Κύριε Δρούγα γεια σας!!
    Στα σχόλια στη λύση να διορθωθεί το:
    2^(5-1)=15
    σε:
    2^(5-1)=2^4=16
    Φιλικά,
    Carlo de Grandi

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Οι τέλειοι αριθμοί εφόσον είναι άρτιοι , είναι της μορφής 2^(ν−1)(2^ν − 1) με το ν να είναι πρώτος. Ας δούμε τις δυνάμεις του 2
    2^1=2
    2^2 =4
    2^3=8
    2^4=16
    2^5=32
    2^6=64
    2^7=128
    …..
    Όταν ο έκθετης είναι άρτιος τελειώνουν σε 4 ή 6 ενώ όταν ο έκθετης είναι περιττός έχουν τελευταίο ψηφίο το 2 ή το 8.Ο ν είναι πρώτος άρα περιττός συνεπώς το 2^ν τελειώνει σε 2 η 8, το 2^ν -1 τελειώνει σε 1 ή 7 και το 2^(ν-1) τελειώνει σε 6 ή 4 αντιστοιχα(2^5=32,2^(5-1)=16 και 2^3=8,2^(3-1)=4)Ετσι,το γινόμενο 2^(ν−1)(2^ν − 1) θα έχει ψηφίο μονάδων το 6,αφου 1*6=6 ή το 8 αφού 4*7=28.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Μου άρεσε πολύ, γι' αυτό το ανάρτησα στην ιστοσελίδα μου με αναφορά της πηγής προελεύσεως.
    Μπορείτε να το δείτε εδώ:
    http://papaveri48.blogspot.gr/2016/10/blog-post_30.html

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...