Γεωμετρικοί ψίθυροι της Διδούς και μια διχοτόμηση για τσιφούτηδες

                                    

    

    «Προκειμένου να δείξουμε αριθμητικά ότι η περίμετρος του κύκλου είναι μικρότερη από κάθε άλλου σχήματος με το ίδιο εμβαδόν,δεν χρειαζόμαστε πλήρη αξιολόγηση όλων των πιθανών σχημάτων,αλλά αρκεί να το αποδείξουμε για συγκεκριμένα σχήματα,από όπου προκύπτει το συμπέρασμα επαγωγικά και για τα υπόλοιπα σχήματα».

           

            Descartes “Regulae ad  Directionem Ingenii (or Rules for the Direction of the Mind”)

   Έχετε ένα  περιφραγμένο ισόπλευρο τριγωνικό οικόπεδο το οποίο θέλετε να διχοτομήσετε  σε δυο ισεμβαδικα οικόπεδα χωρίς να σας ενδιαφέρει το σχήμα τους,το μόνο που σας ενδιαφέρει είναι τα καβούρια στις τσέπες σας,δηλαδή να ξοδέψετε όσο τον δυνατόν λιγότερα χρήματα σε σύρμα περίφραξης.Ευλόγως ανακύπτουν κάποια ερωτήματα.Ποιος είναι ο οικονομικότερος τρόπος για να διχοτομηθεί  ένα τρίγωνο;Η ερώτηση εξακολουθεί να μην είναι πολύ σαφής.Τι σημαίνει «οικονομικός» και «διχοτομώ»; 

  «Διχοτομώ» σημαίνει  διχοτομώ  το εμβαδό και μια «διχοτόμηση» λέγεται πιο «οικονομική» από την άλλη, αν το μήκος της καμπύλης που απαιτεί είναι η μικρότερη.Για παράδειγμα,αν θεωρήσουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.Το σχήμα μας δίνει  τέσσερις πιθανές διχοτομήσεις του,με οικονομικότερη την αριστερή.    

                 

Το ερώτημα παραμένει:

  Ποιος είναι ο οικονομικότερος τρόπος  για να διχοτομηθεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο;

  

   «Πρότα,να κατασκεβαστεί ένα ισσάπλευρου τρυγόνου πυρόβλημα»(*),όπως γράφει και ο Τζαίημς Τζόυς στο Finnegan Wake.Κατασκευάζουμε λοιπόν  ένα ισόπλευρο τρίγωνο και σχεδιάζουμε μια γραμμή που ενώνει δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου και διχοτομεί  το εμβαδό του (σχήμα 1).Θεωρούμε έπειτα το συμμετρικό  του τριγώνου,με την διαχωριστική γραμμή,ως προς κάποια από τις δυο ενωμένες πλευρές.(σχήμα 2) 

  Κάνουμε το ίδιο για την άλλη πλευρά (σχήμα 3) και συνεχίζουμε ώσπου να καταλήξουμε  σε κανονικό εξάγωνο,με μια κλειστή καμπύλη στο κέντρο  του(σχήμα 4).

 

  Πόσο μέρος της επιφάνειας του εξαγώνου  περιέχει η κλειστή καμπύλη ;Η απάντηση πρέπει να είναι προφανής. Αφού η αρχική καμπύλη διχοτομεί  το πρώτο τρίγωνο,το ίδιο ισχύει  για τα συμμετρικά και η τελική κλειστή καμπύλη διχοτομεί το εξάγωνο.Το εμβαδόν που περικλείει είναι το μισό το εμβαδού του εξαγώνου.

  Ποιο είναι το μήκος της κλειστής καμπύλης;Προφανώς,έξι φορές το μήκος της αρχικής.Πότε το μήκος είναι ελάχιστο; Με άλλα λόγια, δεδομένου  ενός κανονικού εξαγώνου,ποια είναι η οικονομικότερη καμπύλη που περικλείει ακριβώς επιφάνεια μισού εμβαδού; Σε αυτό το σημείο οφείλουμε να ομολογήσουμε ότι  η λέξη «μισό» είναι ίσως λίγο άστοχη.Ξεκινήσαμε με ισόπλευρο τρίγωνο, καθορισμένου εμβαδού,και αναζητούμε τελικά την μικρότερη κλειστή καμπύλη (σε εξάγωνο) που περικλείει επιφάνεια τρεις φορές (το μισό του έξι) το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου.Ποια είναι η μικρότερη καμπύλη που περιβάλλει επιφάνεια με δεδομένο εμβαδό; Η απάντηση είναι γνωστή εδώ και πάνω από 2000 χρόνια(**):ο κύκλος με το δεδομένο εμβαδό. Ο οικονομικότερος τρόπος διχοτόμησης του ισοπλεύρου τριγώνου είναι λοιπόν το τόξο κύκλου με κέντρο κάποια κορυφή(σχήμα 5).Τώρα που το βλέπουμε,δείχνει όμορφο,παράξενο και  προφανές.Ψίθυροι της Διδούς από το παρελθόν(***) Ο υπολογισμός είναι αρκετά απλός (Δείτε τον εδώ)  και προκύπτει ότι το μήκος της ζητούμενης καμπύλης για ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1 είναι περίπου 0,673.  

  

(*)(“Ferst construct ann aquilittoral dryanle probeloom!!”Finnegans Wake, James Joyce)

(**) http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_kamoudi.artemis.pdf

(***)Αναφέρει ο Βιργίλιος στην «Αινειάδα» του.Η ιστορία της Διδους .Η  Διδώ ήταν πριγκίπισσα της Τύρου, που πήγε στη Βόρεια Αφρική και ίδρυσε την Καρχηδόνα.

   Η Διδώ είχε κληρονομήσει τον θρόνο της Τύρου από τον πατέρα της, Ο νεότερος όμως αδελφός της Διδώς, ο Πυγμαλίων, δολοφόνησε τον σύζυγο της Σιχαίο και κατέλαβε την εξουσία.Μόλις το έμαθε η Διδώ, παρέλαβε τους θησαυρούς του νεκρού πλέον συζύγου της και επιβιβάσθηκε σε ένα πλοίο μαζί με μερικούς αφοσιωμένους της Τυρίους και δούλους της. Το πλοίο τους μετέφερε στην Κύπρο και από εκεί στις ακτές της Λιβύης, στη χώρα Γετουλία ή Νουμιδία, όπου ζήτησε από τους ντόπιους και τον βασιλιά τους Ιάρβα να της επιτρέψουν να χτίσει στην ακτή μία πόλη.Ο Ιάρβας αρχικώς αρνήθηκε, όταν όμως η Διδώ του προσέφερε πλούσια δώρα δέχθηκε, υπό τον όρο η πόλη να καταλαμβάνει τόση έκταση όση ένα τομάρι βοδιού.Η Διδώ τότε έκοψε το τομάρι σε πολύ στενές λωρίδες και, ενώνοντας τη μία με την άλλη, περικύκλωσε τόσο χώρο, ώστε της έφθασε να κτίσει την Καρχηδόνα και την ακρόπολή της, τη Βύρσα (βύρσος = δέρμα, τομάρι). Η Διδω εφάρμοσε αυτό που όλοι όσοι ασχολούνται με την γεωμετρία γνωρίζουν και είναι το αρχαιότερο ίσως πρόβλημα μεγιστοποίησης: Από όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν το ίδιο μήκος, αυτή που περικλείει χωρίο με το μέγιστο δυνατό  εμβαδόν είναι ο κύκλος.

Γνωστό ως ισοπεριμετρικό πρόβλημα.