Μαθη...μαγικά : Η φιάλη του Κλάιν,το μυρμήγκι του Κλάιν Μάιν και λοιπά τοπολογικά μεζεδάκια...

Κυριακή 4 Ιουνίου 2017

Η φιάλη του Κλάιν,το μυρμήγκι του Κλάιν Μάιν και λοιπά τοπολογικά μεζεδάκια...

Εντάξει,όλοι σας γνωρίζετε τις συναρτήσεις χωρίς όρια, τους γιατρούς χωρίς σύνορα,την βλακεία χωρίς σύνορα,τώρα είναι η ευκαιρία σας να γνωρίσετε και μια επιφάνεια με μια όψη χωρίς σύνορα.
Θυμάστε τι είναι η λωρίδα του Mobius; Ένα παράξενο τοπολογικό ζωάκι που συνίσταται από μια ταινία μιας μόνο όψης (δείτε το σχήμα και διαβάστε λεπτομέρειες σε μια παλιότερη ανάρτηση:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/07/mobius-strip.html).

Επανερχόμαστε,πάρτε δυο λωρίδες του Mobius και κολλήστε τις κατά μήκος του κοινού τους συνόρου. (σχήμα).Tι προέκυψε;Μια μη προσανατολίσιμη επιφάνεια μιας όψης χωρίς σύνορα που ονομάζεται φιάλη του Κλάιν.

Ο Φήλιξ Κλαιν ήταν ένας από τους μεγαλύτερους Γερμανούς μαθηματικούς του 19^ου αιώνα. Η ημερομηνία γέννησης του θα μπορούσε να αποτελέσει πεδίο δόξης λαμπρό για αριθμολόγους-συνωμοσιολόγους τηλεπαραθυρατζήδες καθώς κάθε αριθμός είναι το τετράγωνο ενός πρώτου αριθμού.

25 Απριλίου 1849 ή 25/4/1849 ή 5²/2²/43²

^{Christian Felix Klein (1849 – 1925)}

Προσεγγίσαμε αρχικά την φιάλη με την λωρίδα του Μέμπιους,γεγονός που από μόνο του συνιστά μια παραδοξότητα. Σαν να σε ρωτούν για κάποιο μυθικό πλάσμα, για παράδειγμα ,τι είναι ένας ιπτάμενος δράκος και εσύ να τον ορίζεις με ένα Έλληνα μεγαλοσυνταξιούχο ,ένα άλλο σπάνιο και μυθικό πλάσμα.Ας δούμε την φιάλη του Κλάιν λίγο διαφορετικά.

Έστω ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε την φιάλη.Παίρνουμε ένα φαρδύ κομμάτι ελαστικής ταινίας,κολλητική ταινία και είμαστε ανοιχτοί στην ύπαρξη μιας τέταρτης διάστασης.

Αρχικά,κάμπτουμε την επίπεδη ελαστική ταινία μέχρι να σχηματίσουμε ένα κύλινδρο,και αμέσως,κολλάμε τα δυο άκρα με κολλητική ταινία (σχήμα) ώστε να διατηρηθεί η κυλινδρική του μορφή.Μετά μαρκάρουμε τις περιφέρειες στις δυο βάσεις του κυλίνδρου με βέλη, τα οποία σηματοδοτούν αντίθετη φορά.Στην συνέχεια - εδώ είναι τα ζόρια- πρέπει να κάμψουμε τον κύλινδρο μέχρι οι δυο βάσεις να ενωθούν,με τρόπο ώστε τα βέλη να έχουν την ίδια φορά. Σε αυτό το σημείο θα χρειαζόταν η τέταρτη διάσταση αλλά έλλειψη της θα καταφύγουμε σε ένα μικρό τέχνασμα.

Όπως φαίνεται στα δυο μεσαία σχήματα,λυγίζουμε τον κύλινδρο ώστε να «κλείσει» στον εαυτό του,μετά περνάμε την μια βάση του κυλίνδρου μέσα από τον ίδιο τον κύλινδρο και στην συνέχεια την τραβάμε-από το εσωτερικό του- προς τα επάνω.Τέλος, μετά την τομή του κυλίνδρου με τον ίδιο του τον εαυτό, διπλώνουμε την βάση –που είναι στο εσωτερικό- προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο τέταρτο σχήμα , έτσι ώστε να ενώσουμε τις δυο βάσεις του κυλίνδρου. Αυτό που πρέπει να προσέξουμε είναι –κατά την ένωση των βάσεων-τα βέλη να έχουν την ίδια φορά.

Η φιάλη του Κλάιν τέμνεται στον εαυτό της επειδή όλα έγιναν στις τρεις διαστάσεις .Η ίδια φιάλη στις τέσσερις διαστάσεις δεν θα χρειαζόταν να τέμνεται με τον εαυτό της.Για να το δούμε αυτό θα πέσουμε χαμηλά και θα κατέβουμε μια διάσταση.

Ας πούμε ότι θέλετε να σχεδιάσετε στο χαρτί το σύμβολο του απείρου.

Είναι βέβαιο ότι η γραμμή που θα σχεδιάσετε θα τέμνει τον εαυτό της στο κέντρο του σχήματος,ακριβώς όπως έτεμνε ο κύλινδρος τον εαυτό του στο κέντρο της φιάλης του Κλάιν.Αυτό συμβαίνει επειδή η γραμμή που χαράξατε είναι εγκλωβισμένη σε μια δισδιάστατη επιφάνεια (χαρτί).Μπορείτε,ωστόσο χωρίς κανένα πρόβλημα να προσθέσετε μια διάσταση φτιάχνοντας το σχήμα με ένα σύρμα.Το τμήμα του σύρματος θα περάσει πάνω από το ίδιο το σύρμα,δηλαδή μπορεί να σηκωθεί ψηλά στην τρίτη διάσταση,χωρίς να χρειαστεί να «διαπεράσει» τον ίδιο του τον εαυτό.

Έτσι, κατά αναλογία, στην φιάλη του Κλαιν η ελαστική ταινία μπορούσε να «σηκωθεί» στην τέταρτη διάσταση και να μην τέμνει τον εαυτό της. Η αρχιτεκτονική της φιάλης είναι πολύ διαφορετικη από αυτή ενός κοινού μπουκαλιού. Δεν έχει σύνορα.Ας το σκεφτούμε λίγο.Φανταστείτε ένα κοινό γυάλινο μπουκάλι ταπωμένο με φελλό, είναι σαφές ποιος είναι το εξωτερικό και πιο είναι το εσωτερικό του μπουκαλιού.Αφαιρέστε τον φελλό επίσης είναι σαφές οτι το σύνορο που καθόριζε το εσωτερικό ή το εξωτερικό του μπουκαλιού είναι το στόμιο του μπουκαλιού, να ένα μυρμύγκι διετρεχε την εξωτερική επιφάνεια του μπουκαλιού για να περάσει στο εσωτερικό του έπρεπε να περάσει από το στόμιο του μπουκαλιού, το σύνορο.Στην μπουκάλα του Κλάιν, ένα μυρμήγκι μπoρει να κινείται στην επιφάνεια του χωρίς να διαπερνα σύνορα γιατι πρόκειται για μια επιφάνεια μονής όψης, Κλάιν μάιν (τρεχα γυρευε στα Γερμανικα) για το μυρμηγκι.

Η αλήθεια είναι ότι η μπουκάλα του Κλαιν δεν ικανοποιεί κανένα από τα κριτήρια λειτουργικότητας που έχουν τα κοινά μπουκάλια. Πως μπορούμε να βάλουμε μπίρα ή κρασί σε μια τέτοια φιάλη που το «μέσα» είναι το «έξω». Μια ακόμα αλήθεια είναι ότι ο Κλαιν ποτέ δεν ονόμασε την επιφάνεια που ανακάλυψε μπουκάλα ή φιάλη. Αρχικά, την ονόμασε Kleinshe Flache ,δηλαδή επιφάνεια του Κλαιν.Ωστόσο η μετάφραση στα αγγλικά αποδόθηκε ως Kleinshe Flache που σημαίνει μπουκάλα του Κλαιν.

Ο αστροφυσικός Κλίφορντ Στολλ είναι μια φοβερή και τρομερή εκπαιδευτική περσόνα με περγαμηνές στην εκλαΐκευση της επιστήμης δείτε τα τρία βίντεο στο τέλος της ανάρτησης από το Numberphile.Ο Στολλ ,λοιπόν, με την συνεργασίας του Κέντρου Κινγμπριτζ του Τορόντο κατασκεύασε την μεγαλύτερη γυάλινη φιάλη Κλαιν στον κόσμο, έχει ύψος 1,1 μέτρα, διάμετρο 0,5 μέτρα και ζυγίζει 15 κιλά.

Ο Στολλ σχολιάζει:

Μιας όψης,χωρίς σύνορα και μαθηματικά μη προσανατολίσισιμη.Διασκεδάζει τους τοπολόγους και μαγεύει τους επισκέπτες.Έχει το μέγεθος πεντάχρονου παιδιού.«Μέσα» της θα μπορούσε να σκαρφαλώσει μια νυφίτσα .Είναι ένα ασυνήθιστο γυάλινο φυσητό προϊόν.Ελάχιστα εργαστήρια φυσητών προϊόντων θα μπορούσαν να δημιουργήσουν ένα τέτοιο έργο.