Τα προβλήματα του Μήτσου

Προβληματάκια κλιμακούμενης δυσκολίας...

•Δόθηκε στο Μήτσο–ορθολογιστή κολοσσιαίου διαμετρήματος–το παρακάτω πρόβλημα: 

  

 Τρεις ακρίδες μπαίνουν στην σειρά να παίξουν το παιχνίδι:το πήδημα του βατράχου.Ακόμη και οι ακρίδες ενίοτε έχουν κρίση ταυτότητας.Σε κάθε γύρο,μια ακρίδα πηδάει πάνω από μια άλλη σε όποια κατεύθυνση θέλει αλλά ποτέ πάνω από δύο ακρίδες.Μπορούν οι ακρίδες με κατάλληλη ακολουθία 2017 κινήσεων να επανέλθουν στην αρχική τους διάταξη;

Μπορείτε να τον βοηθήσετε να το λύσει;

•Το Μήτσο βοήθησε ο παππούς του, να  λύσει το πρόβλημα και αναρωτήθηκε:

Μια γενιά εμφανίζεται κάθε 25 χρόνια. Συνεπώς:

       25 χρόνια πριν, είχα 2 προγόνους,( γονείς )

       50 χρόνια πριν, είχα 4 προγόνους, (παππούδες, γιαγιάδες )

       75 χρόνια πριν,  είχα 8 προγόνους (προπαππούδες ,προγιαγιάδες) κ.ο.κ.

 Κάθε 25 χρόνια, το πλήθος των προγόνων μου διπλασιάζεται.Στάσου όμως,πριν από 2000 χρόνια (2000/25=80)  είχα 2⁸⁰  προγόνους,όμως  2⁸⁰ είναι περίπου 1200000000000000000000000 ένα αριθμό κατά πολύ μεγαλύτερο από όλους τους ανθρώπους που έζησαν ποτέ!!

Που κάνει λάθος ο Μήτσος;

•O Μήτσος έλυσε τα παραπάνω προβλήματα και ο πατέρας του για να τον ανταμείψει του είπε:

-«Έχω στην τσέπη μου 7 ευρώ.Χώρισε τα, σε ομάδες όπως θες εσύ και θα σου δώσω το γινόμενο σε ευρώ.»

Ο Μήτσος άρχισε τις δοκιμές:

                      1+2+1+3=7 με γινόμενο  6

                      3+3+1=7 με γινόμενο     9

                      2+1+2+2=7 με γινόμενο    8

                      1+1+1+1+1+1+1=7 με γινόμενο    1                   

                       5+2=7 με γινόμενο    10

                       4+3=7  με γινόμενο    12
Και διαπίστωσε ότι το μέγιστο γινόμενο είναι 12,οπότε τσάκωσε τα 12  ευρώ.

Ο πατέρας του επέμεινε :

-«Να το γενικεύσουμε.Έχω στην τσέπη μου Ν ευρώ ,αν βρεις ένα τρόπο να χωρίσουμε το ποσό σε ομάδες(ακεραίου πλήθους ευρώ η καθεμία)  έτσι ώστε το γινόμενο τους να γίνεται μέγιστο,θα σου αγοράσω ένα λάπτοπ.»

Ο Μήτσος έσπασε το κεφάλι του άλλα δεν βρήκε λύση.Εσείς;

Οι λύσεις ΕΔΩ