Προβλήματα…
•Ο Αχιλλέας και η χελώνα έλαβαν μέρος σε ένα
μαραθώνιο αγώνα δρόμου με την ονομασία ΖΗΝΩΝ.Είναι γνωστό μετά το πέρας του
αγώνα ότι ο Αχιλλέας κατετάγη 11ος .Η χελώνα ήρθε 21η από το τέλος.Ο Αχιλλέας
ξεπέρασε διπλάσιο αριθμό δρομέων από τον αριθμό των δρομέων που ξεπέρασαν την χελώνα.Πόσοι δρομείς έλαβαν
μέρος τον μαραθώνιο ΖΗΝΩΝ;
•Συζητούν ο Αχιλλέας με την χελώνα.
-«Ξέρεις»,είπε
η χελώνα,«κατασκεύασα ένα υπολογιστή ο οποίος
μπορεί να κάνει μόνο μια πράξη.»
-«Δεν
μου φαίνεται και πολύ χρήσιμος», την διέκοψε ο Αχιλλέας.
- «Αντιθέτως,αγαπητέ
μου Μυρμιδόνα, θα έλεγα, ότι είναι ένα μινιμαλιστικό μηχάνημα καθώς με αυτήν πράξη
μπορεί να εκτελέσει και τις τέσσερεις γνωστές πράξεις.»
-«Να
ακούσω λεπτομέρειες» επέμεινε ο Αχιλλέας
και έξυσε την φτέρνα του.
-
«Λοιπόν, παίρνει δυο οποιοσδήποτε αριθμούς
α και β, με το β μη μηδενικό και ο υπολογιστής μου βρίσκει την τιμή 1-α/β.Έχω συμβολίσει την πραξη #,δηλαδή α#β=1-α/β.»
-«Καλά,πως
εκτελεί όλες τις πράξεις;» ξαναρώτησε Αχιλλέας χωρίς να πάψει να τρίβει
την φτέρνα του.
-«Είναι
απλό,έστω ότι θέλουμε να εκτελέσουμε διαίρεση,το πηλίκο α/β,τότε αρκεί
να υπολογίσουμε την παράσταση (α#β)#1.»
-«Για
να σκεφτώ»,είπε ο Αχιλλέας και έπιασε μολύβι και χαρτί,«(α#β)#1=(1-α/β) #1=
=((β-α)/
β) #1=1-((β-α)/β)/1=1-(β-α)/β=(β-(β-α))/β=α/β,Ουαου.»
-«Ο
υπολογιστής μου μπορεί να εκτελέσει και τις υπόλοιπες πράξεις,πρόσθεση,αφαίρεση, πολλαπλασιασμό.Μπορείς να βρεις τον τρόπο;»
Ο
Αχιλλέας έπαψε να ξύνει την φτέρνα του και έξυσε το κεφάλι του «Κοίταξε, έχω λίγη ώρα στην διάθεση μου να
το προσπαθήσω,με φώναξαν για μια εκστρατεία στην Τροία. Πόλεμος ρουτίνας,ξέρεις πως είναι οι πόλεμοι.»
Πως γίνονται οι πράξεις με τον υπολογιστή της χελώνας;
Οι λύσεις στο τέλος της εβδομάδας,γιατί στο φετινό Ζ1 νομίζουν ότι είναι πολύ μάγκες και τα λύνουν όλα... (Δείτε σχόλια)
Σχετικό τραγουδάκι από Zeppelin
Λύση
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν δεν έχω "φάει" καμιά παρένθεση
• Αν Ν είναι οι δρομείς συνολικά τότε από υπόθεση ισχύει:
2(Ν-21)=Ν-11 ή Ν=31
•Ας δούμε πρώτα τις ειδικές περιπτώσεις:
-Αν α=0 ή β=0 τότε ορίζουμε ως α*β να είναι 1#1=1-1/1=0
-Αν α=0 και το β οποιοσδήποτε αριθμός ορίζουμε α-β να είναι
(β#(-1))#1=1-(1-β/(-1))=-β
-Αν α=0 και το β οποιοσδήποτε αριθμός ορίζουμε ως α+β να είναι
(β#1)#1=(1-β/1)#1=(1-β)#1=1-(1-β)/1=β
Τώρα υποθέτουμε ότι α,β είναι και τα δυο διαφορετικά του 0.
Μια προσέγγιση θα ήταν να παρατηρήσουμε ότι:
1#β=1-1/β και α#1=1-α
Έτσι
(1#β)#1=(1-(1-1/β))=1/β [ βρίσκουμε έτσι τον αντίστροφο του β]
Έτσι για να πολλαπλασιάσουμε το α με το β αρκεί να διαιρέσουμε το α με τον αντίστροφο του β (τον 1/β)
Δηλαδή α*β=α/(1/β)=(α#(1/β)#1)=(α#((1#β)#1))#1
Επίσης παρατηρούμε ότι
(α#β)#α=1-(1-α/β)/α)=1-1/α+1/β
Συνεπώς
((α#β)#α)#1=1/α-1/β (1)
Αρα για να ορίσουμε την αφαίρεση α-β αρκεί να εφαρμόσουμε την (1) για 1/α ,1/β.
α-β= (((1/α)#(1/β))#(1/α))#1=(((1#α)#1)#((1#β)#1))#((1#α)#1))#1
Τέλος για να ορίσουμε την πρόσθεση πρώτα υπολογίζουμε β#1=1-β κατόπιν αφαιρούμε το 1 για να λάβουμε το –β και στην συνέχεια να το αφαιρέσουμε από το α.Δηλαδή:
α+β=α-(1-(1-β))= α-(1-(β#1))=
=α-((β#1)#1)=(((1#α)#1)#((1#((β#1)#1))#1)#((1#α)#1))#1