Aκολουθία Kolakoski, ο τύπος του Tupper και λοιπά αυτοαναφορικά μεζεδάκια

                       

                                                   Αυτοαναφορά με Τρύπες

   Σε παλιότερη ανάρτηση είχα αναφέρει τον τύπο του Tupper (http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/02/tuppers-self-referential-formula.html) ένα περίεργο ζωάκι από το βασίλειο των αριθμών.Παραπλήσιο μαθηματικό αντικείμενο με αυτοαναφορικές ιδιότητες  είναι η ακολουθία Kolakoski.
   Στα μαθηματικά,η ακολουθία Kolakoski,μερικές φορές γνωστή και ως ακολουθία Oldenburger-Kolakoski,είναι μια ατέλειωτη σειρά αριθμών {1,2} που  τα μήκη των διαδοχικών αλυσίδων μονάδων ή δυαριών "κατασκευάζουν" την ίδια την ακολουθία,ουσιαστικά έχει φρακταλική  δομή καθώς μετρώντας τις μονάδες και τα δυάρια ξαναγράφεται από την αρχή.Να το ξεκαθαρίσουμε λίγο:

Οι αρχικοί οροι της ακολουθίας Kolakoski είναι: 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,…(Ακολουθία A000002  στον OEIS  )

Κάθε αριθμός εμφανίζεται διαδοχικά  μια ή δυο φόρες και αν καταγράψουμε πόσες φορές έχουμε  διαδοχικά το 1 ή το 2 τότε  εμφανίζεται  ακριβώς η ίδια ακολουθία:

1, 2,2, 1,1, 2, 1,2,2, 1, 2,2, 1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,2,2,...

1,   2 ,   2 , 1, 1,  2 , 1,   2 ,   2 ,1,  2 ,   2 ,1,1,  2 ,1,1, 2 ,  2 , 1,  2 ,1,1, 2 , 1, 2 ,  2 , 1, 1, 2 ,...

Αντιστρόφως, μπορεί κανείς να πει ότι κάθε όρος της ακολουθίας του Kolakoski δημιουργεί μια πορεία ενός ή δύο μελλοντικών όρων. Το πρώτο 1 της ακολουθίας δημιουργεί μια διαδρομή "1",δηλαδή η ίδια.Tο πρώτο 2 δημιουργεί μια σειρά "22", η οποία περιλαμβάνει τον εαυτό του.Το δεύτερο 2 δημιουργεί μια διαδρομή "11"  κ.o.k. 
Δείτε το παρακάτω animated gif:

Αυτές οι αυτοναφορικες ιδιότητες, παραμένουν αν η ακολουθία γράφεi ξεκινώντας χωρίς το αρχικό 1.Είναι προφανές ότι η ακολουθία Kolakoski μπορεί να περιγραφεί ως ένα φράκταλ ή μαθηματικό αντικείμενο που κωδικοποιεί τη δική του αναπαράσταση σε άλλες μικρότερες κλίμακες.

Περαιτέρω αναφορές στο σύνδεσμους: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Kolakoski_sequence
https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Steinsky/steinsky5.pdf

και εδώ για αυτοαναφορικά παντογράμματα 
http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/11/blog-post_23.html

Η ακολουθία Δες και πες
http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/04/conway.html

  Η ακολουθία Kolakoski,είναι η  ακολουθία A000002  στο γνωστό ιστότοπο  OEIS και όπως εκμυστηρευεται στην Βρετανική Guardian ο Neil Sloane , ο δημιουργός του OEIS  είναι μια από τις αγαπημένες του ακολουθίες. (https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/oct/07/neil-sloane-the-man-who-loved-only-integer-sequences)

Ένα κατατοπιστικό βίντεο από τον Alex Bellos που οπτικοποιει την παραπάνω ακολουθία με χρώματα