Μαθηματικά προβλήματα και επιφωνήματα.Κόκκαλα που σπάνε στα τρία,πίθηκοι με αρνητικό αριθμό καρύδων και ακάλυπτες σκακιέρες...

 

     "Αυτό είναι μάλλον ένα πρόβλημα για τρεις πίπες,Γουάτσον, και θα σε παρακαλούσα να μη μου μιλήσεις για πενήντα λεπτά.”

                                                                   Άρθουρ Κόναν Ντόυλ  1859-1930

Aha solution problems ονομάζονται τα προβλήματα-πάντα αναφέρομαι στα μαθηματικά-που η λύση τους είναι σύντομη,κομψή,ευρηματική,ευφυής και συνοδεύεται από επιφώνημα έκπληξης.Σήμερα λοιπόν,πριν τα μαθήματα του Σαββάτου μερικά από  τα αγαπημένα μου Aha solution problems.   

Κόκκαλα που σπάνε στα τρία!!

  Το ακόλουθο πρόβλημα,το είχα πετύχει φοιτητής σε εκείνο το ωραίο βιβλιαράκι του Mosteller ,Fifty Challenging Problems in Probability στην βιβλιοθήκη του πανεπιστημίου. (https://mbapreponline.files.wordpress.com/2013/07/fifty_challenging_problems_in__2.pdf)

  Ο Μπρούνο είναι επαγγελματίας τοκογλύφος έχει  σωματοδομή γορίλλα ,ξέρει προπαίδεια και ακολουθεί πρακτικές πιστωτικού ιδρύματος. Δανείζει λεφτά  και τα παίρνει πίσω πολλαπλάσια σε βάθος χρόνου. Αν δεν εισπράξει εγκαίρως, γίνεται ανυπόμονος, εκνευρίζεται και κάνει επίμονο μασάζ στα ούλα των πελατών του με λοστό, ενίοτε τους σπάει και κανένα κόκκαλο. Σε μια τέτοια επαγγελματική του συναναστροφή έχει στριμώξει, σε ένα στενό, έναν από τους πελάτες του και τον απειλεί.

-«Αν δεν πάρω το χρήμα θα σου σπάσω το κόκκαλο του βραχίονα σε τρία σημεία!! Θα το κάνω τυχαία ποτέ δεν είχα προτιμήσεις σε τέτοιου είδους πράγματα;» 

  Το ερώτημα είναι: Αν ο Μπρούνο σπάσει τυχαία το οστό του βραχίονα σε τρία σημεία . Ποια είναι η πιθανότητα τα τρία κομμάτια να αποτελούν πλευρές τριγώνου;  

  Η αλγεβρική λύση είναι αρκετά επίπονη όμως έρχεται η γεωμετρία να βοηθήσει. Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το ερώτημα: Αν  χωρίσουμε  τυχαία ένα   ευθύγραμμο τμήμα σε τρία σημεία, ποια η πιθανότητα τα τρία κομμάτια να αποτελούν πλευρές τριγώνου;

 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ως ύψος σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Κατόπιν παίρνουμε τα μέσα Ε,Μ,Ζ των πλευρών του  και τα ενώνουμε  έτσι ώστε να σχηματίσουμε τέσσερα ίσα τρίγωνα (ΑΕΜ,ΜΖΓ,ΒΕΖ,ΕΜΖ) .

Από το θεώρημα Viviani – είναι άσκηση στο σχολικό στην γεωμετρία της Α λυκείου -γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε ένα εσωτερικό σημείο ισόπλευρου τρίγωνου τότε το άθροισμα των αποστάσεων του από τις πλευρές είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Που ακριβώς πρέπει να επιλέξουμε το σημείο έτσι ώστε  οι τρεις αποστάσεις να αποτελούν πλευρές τρίγωνου;

    Αν η επιλογή του σημείου γίνει  στο εσωτερικό κάποιου από τα εξωτερικά τρίγωνα (ΑΕΜ,ΜΖΓ,ΒΕΖ)  τότε μια από τις αποστάσεις είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των άλλων δυο, συνεπώς δεν ικανοποιείται η τριγωνική ανισότητα.Έτσι, μόνο, αν επιλέξουμε σημεία από το τρίγωνο ΕΜΖ οι αποστάσεις αποτελούν πλευρές τρίγωνου. Άρα η πιθανότητα είναι 1/4.

 

O Dirac και το πρόβλημα με τις καρύδες 

   Μετά από ένα ναυάγιο,πέντε ναύτες έφτασαν σε ένα νησί και πριν σκοτεινιάσει μάζεψαν καρύδες. Αποφάσισαν να τις μοιράσουν το επόμενο πρωί.Ένας από τους ναύτες ξύπνησε τη νύχτα, μέτρησε τις καρύδες, έδωσε μία στον πίθηκο που είχαν μαζί τους και κράτησε για τον εαυτό του ακριβώς το 1/5 από τις υπόλοιπες. Στη συνέχεια, ξανακοιμήθηκε και λίγο αργότερα ένας άλλος ναύτης ξύπνησε και επανέλαβε την ίδια διαδικασία. Ακριβώς το ίδιο συνέβη διαδοχικά και με τους άλλους τρεις ναύτες.Κανείς,όμως,δεν είχε την παραμικρή ιδέα για το τι έκαναν οι υπόλοιποι. Το πρωί έδωσαν μία στον πίθηκο και μοίρασαν σε ίσα μερίδια τις υπόλοιπες καρύδες. Πόσες καρύδες μάζεψαν οι ναύτες;

Πως το προσεγγίζουμε; 

Αν  A(x) είναι οι καρύδες  που απομένουν από την «κλεψιά» ενός ναύτη  σε μια στοίβα με x καρύδες. Ισχύει ότι Α(χ)=4/5(χ-1).Λύση για μας θα είναι ένας ακέραιος χ τέτοιος ώστε αν ξεκινήσουμε από το χ και εφαρμόσουμε την διαδικασία  έξι φορές θα καταλήξουμε σε ακέραιο. Το πρόβλημα είναι να βρούμε την ελάχιστη θετική λύση.

Καθώς Α(χ)=(4/5)χ-4/5  τότε

Α6(χ)=(4/5)^6*x-((4/5)^6+(4/5)^5+…4/5)

Αν  χ,y δυο ακέραιες λύσεις  τότε θα ισχύει:

Α6(χ)=(4/5)^6*x-((4/5)^6+(4/5)^5+…4/5)

Α6(y)=(4/5)^6*y-((4/5)^6+(4/5)^5+…4/5)

Αφαιρούμε κατά μέλη

Α6(χ)-Α6(y)=((4/5)^6)(x-y)=(4^6*(x-y))/5^6   ή  ((Α6(χ)-Α6(y))/4^6)*5^6 = x-y

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι  δυο λύσεις  διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο του 5^6.

  Ο θρύλος θέλει τον διάσημο φυσικό Dirac σε αυτό το σημείο για να αποφύγει τους υπολογισμούς να κάνει το εξής:Σκέφτηκε θα μπορούσε  να ισχύει Α(χ)=χ; Tότε  χ=4/5(χ-1)   και προκύπτει χ=-4 που φαίνεται άσχετη με το πόσες καρύδες  υπήρχαν αρχικά όμως αποτελεί λύση,λύση θα αποτελεί και κάθε αριθμός που διαφέρει κατά πολλαπλάσιο του 5^6, όποτε  προσθέτει -4+5^6=15621 καρύδες.

Μια παραλλαγή του προβληματος  με  επίπονη λύση 

http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/08/blog-post_4073.html

 σε βίντεο απο το Numberphile

                           

Σε μια τέτοια λίστα δεν πρέπει να λείπουν:
Το πρόβλημα του Gomory με την σκακιέρα

http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/12/gomory.html 

Το πρόβλημα με τα τραίνα και την  μύγα  και την λύση του Φον Νιούμαν

https://mathhmagic.blogspot.gr/2015/06/blog-post_12.html?showComment=1434110938026