«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 3 Μαρτίου 2018

Η τριχοτόμηση μιας γωνίας με υλικά κουζίνας....





  Διαβήτης ουσ.Παμπάλαια κατασκευή που θυμίζει στην γωνία ότι δεν μπορεί να τριχοτομηθεί!

  Η τριχοτόμηση οποιασδήποτε γωνίας με κανόνα και διαβήτη είναι ένα αδύνατο πρόβλημα και αυτό είναι γνωστό από το 1837,όταν ο μαθηματικός P.L.Wantzel  το απέδειξε  χωρίς φόβο αλλά είμαι σίγουρος με πολύ πάθος.Τώρα,αν παρακάμψουμε τον κανόνα και τον διαβήτη μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία  χρησιμοποιώντας ένα άντε δυο φύλλα  χαρτί και  ένα ψαλίδι.

  Έστω μια τυχαία γωνία CΑB  την οποία σχεδιάζουμε σε ένα φύλλο χαρτί



Παίρνουμε ένα δεύτερο ορθογώνιο φύλλο (σχήμα 1)  χαρτί και ένα ψαλίδι.Διπλώνουμε το χαρτί  δυο φορές έτσι ώστε να σχηματιστούν τέσσερα ίσα ορθογώνια (σχήμα 2).Με το ψαλίδι κόβουμε το τέταρτο ορθογώνιο  και λαμβάνουμε το χαρτί του σχήματος  3.Όπου δυο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα  P’P,Q’Q   χωρίζουν τις πλευρές  σε τρία ίσα τμήματα. 




 Τώρα, βάζουμε το φύλλο χαρτί του σχήματος 3  «πάνω» στην γωνία έτσι ώστε η βάση του να εφάπτεται με την πλευρα AB της γωνίας.Κατόπιν διπλώνουμε το χαρτί  έτσι ώστε το σημείο P να βρεθεί πάνω στην πλευρά CA της γωνίας CAB και ταυτόχρονα  το Α  να βρεθεί  πάνω στην QQ’ (ως Α').Ενώνουμε  το Q (στην θέση του διπλώματος Q')με το Α.Η γωνία QAΑ' είναι το 1/3 της γωνίας CAB.Γιατί;
Τα  ορθογωνια τρίγωνα PQA,QAA’,AA’R  είναι ίσα, με τα στοιχεία ισότητας να  προκύπτουν από την παραλληλία και  την πτύχωση.
  Φυσικά, δεν ήταν από την αρχή απαραίτητο να χωρίσουμε το  ορθογώνιο  σε τρία ίσα ορθογώνια αρκούσαν δυο ισα και ένα άλλο μεγαλύτερο ή μικρότερο αλλά έτσι το έδειξα σήμερα σε ένα διάλειμμα και δεν..υπαναχωρώ!! Η απόδειξη είναι ήδη γνωστή από το 1980 και πιστώνεται στον Ιάπωνα μαθηματικό Hisashi Abe( origami γαρ).

http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall07/lectures/L23_hull.pdf
https://mathfuture.wikispaces.com/PaperFolderCountingBook

Η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας με την Γωνιά του ξυλουργού (Carpenter's square) στο σύνδεσμο:
https://nrich.maths.org/726


Διαβάστε και αυτό για να δείτε σε τι κόσμο ζούμε:
 http://web.mst.edu/%7Elmhall/WhatToDoWhenTrisectorComes.pdf

Για οπτικούς τύπους, η  ίδια απόδειξη  στο Numberphile απο την  Zsuzsanna Dancso.

                         

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...