Το παράδοξο της Ωραίας Κοιμωμένης,πιθανότητες που ζαλίζουν...

        

 Πιθανότητες. Πλασέμπο αδυναμίας λήψης απόφασης.

                                                               Μήτσος, ιδιοκτήτης πρακτορείου στοιχημάτων                                                                                                                                          
   Όλοι γνωρίζουν το πρόβλημα του Monty Hall (http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/02/blog-post_28.html) και το μύθο που το συνοδεύει,ένα άλλο πρόβλημα πιθανοτήτων που εγείρει ανάλογες έριδες είναι το παράδοξο της Ωραίας Κοιμωμένης.

Η διατύπωση του έχει ως εξής:

  Την Κυριακή θα δώσουν ένα φάρμακο στην ωραία κοιμωμένη που την κοιμίζει .Θα στρίψουν ένα νόμισμα, αν δείξει κορώνα,θα την ξυπνήσουν την Δευτέρα,θα της κάνουν μια ερώτηση  και το πείραμα θα τελειώσει.Αν δείξει γράμματα,θα την ξυπνήσουν την Δευτέρα, θα της κάνουν μια ερώτηση και μετά θα της δώσουν άλλη μια δόση από το φάρμακο.Μετά θα την ξυπνήσουν την Τρίτη  θα της κάνουν μια ερώτηση και το πείραμα θα τελειώσει.Παρότι έχουν εξηγήσει  στην ωραία κοιμωμένη  όλες τις λεπτομέρειες του πειράματος,δεν θα έχει τρόπο να γνωρίζει στην διάρκεια της ερώτησης ,ποια μέρα είναι. Το φάρμακο,επίσης,προκαλεί μια ελαφρά απώλεια μνήμης  οπότε γνωρίζει  ότι δεν θα είναι δυνατό  να θυμάται τυχόν προηγούμενο ξύπνημα  στην διάρκεια του πειράματος (αν συμβεί τέτοιο).

Στο ξύπνημα όποια μέρα και αν γίνει ,την ρωτούν:

      Κατά την εκτίμηση της, ποια  είναι η πιθανότητα  το νόμισμα να έδειξε κορώνα;

 Το πρόβλημα της ωραίας κοιμωμένης, όπως αποκαλείται το πείραμα, είναι ένας  σχετικά περίπλοκος γρίφος της θεωρίας των πιθανοτήτων. Έχει τις ρίζες του σε ένα παλιότερο πρόβλημα που έκανε την εμφάνιση του, το 1997,στο περιοδικό Games and Economic Behaviour  με τον τίτλο «Ο αφηρημένος οδηγός » (TheAbsent Minded Driver) και είναι  δημιουργία των οικονομολόγων Michele Piccione και  Ariel Rubinstein .

     Υπάρχουν δυο μονοπάτια σκέψης που μπορούμε να ακολουθήσουμε όσο αφορά την ερώτηση. Στο πρώτο  εστιάζουμε στο γεγονός  ότι η πορεία  του πειράματος–είτε την ξυπνήσουν  μια είτε δυο φορές–θα καθοριστεί  από μια και μοναδική ρίψη  ενός νομίσματος.Στο δεύτερο  παρατηρούμε  το μοτίβο με το οποίο θα την ξυπνήσουν: μια φορά αν έρθει κορώνα και δυο φορές αν έρθει γράμματα.

Ειδικότερα:

● Στην πρώτη προσέγγιση  σκεπτόμαστε ότι υπάρχει 50% πιθανότητες το νόμισμα να έρθει κορώνα, το σκεπτικό  εδώ είναι ότι η Ωραία κοιμωμένη όταν ξυπνά γνωρίζει  μόνον ότι της έχουν στρίψει  ένα νόμισμα, και ότι έφερε  κορώνα ή γράμματα.Τίποτα στην κατάσταση  που βρίσκεται δεν της δίνει καινούργια στοιχεία  ως προς τις πιθανότητες,οπότε θα πρέπει  να υποθέσει  ότι οι πιθανότητες  να δείξει κορώνα το νόμισμα  είναι 1 προς 2.

● Στην δεύτερη προσέγγιση η Ωραία Κοιμωμένη πρέπει να καταλήξει ότι οι πιθανότητες να έρθει κορώνα  είναι 1 στις 3.Φανταστείτε ότι αυτό το πείραμα έχει διεξαχθεί 200 φορές .Ένα νόμισμα αναμένεται  θα φέρει 100 φορές  κορώνα και 100 φορές γράμματα.Εδώ ο κρίσιμος παράγων είναι ότι από την οπτική της ωραίας κοιμώμενης,θα ξυπνήσει δυο φορές πιο συχνά  αν το νόμισμα δείξει γράμματα από ότι αν δείξει κορώνα.

Αποτέλεσμα ρίψης	Αριθμός ρίψεων	Ξυπνήματα την δευτέρα	ξυπνήματα την τρίτη	Σύνολο ξυπνημάτων
ΚΟΡΩΝΑ	100	100	-	100
ΓΡΑΜΜΑΤΑ	100	100	100	200

  Ο  πίνακας μας δείχνει ότι αν το πείραμα διεξήχθη 200 φορές , η Ωραία κοιμωμένη  θα ξυπνήσει 100 φορές αν έρθει κορώνα ,σε σύγκριση με 200 φορές  αν έρθει γράμματα .Αυτό μας υποδεικνύει  ότι πρέπει η ωραία κοιμωμένη να υπολογίσει  ότι η πιθανότητα το νόμισμα  να έδειξε κορώνα είναι 1 στις 3.

  Όπως και το πρόβλημα του Monty Hall οι γνώμες διχάζονται , μάλιστα σε ένα ιστότοπο χαρακτήριζε τους υποστηρικτές του 1/2, halfers και τους υποστηρικτές του 1/3,thirders.

                          

Ένα παιχνίδι προσομοίωσης του προβλήματος:

http://www.roma1.infn.it/~dagos/sleeping/play_sleeping.html

Παραπλήσιο παράδοξο εξίσου αμφιλεγόμενο το παράδοξο των δυο φακέλων
http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/03/blog-post_27.html

Σχετικοί σύνδεσμοι:

http://www.maproom.co.uk/sb.html

http://blog.tanyakhovanova.com/?p=356

http://barryispuzzled.com/zbeauty.htm

http://arxiv.org/pdf/1110.6437v2.pdf