«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 25 Μαΐου 2018

Παίγνια με τον κουβά




    Σε ένα κύκλο έχουν τοποθετηθεί ωρολογιακά  πέντε κουβάδες  χωρητικότητας δυο λίτρων.Ο Τομ και ο Τζέρυ παίζουν ένα παιχνίδι σε διαδοχικούς γύρους. Πρώτος παίζει  ο  Τζέρυ,παίρνει ένα λίτρο νερό από το διπλανό ποτάμι- με ένα δικό του δοχείο- και το μοιράζει αυθαίρετα  στους πέντε κουβάδες.Τότε ο Τομ επιλέγει δυο γειτονικούς κουβάδες  τους αδειάζει  στο ποτάμι και τους βάζει στην θέση τους.Το ίδιο γίνεται σε κάθε γύρο. Σκοπός του Τζέρυ είναι να ξεχειλίσει τουλάχιστον έναν από τους πέντε κουβάδες .Ο Τομ θέλει να το αποτρέψει.

Υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δυο;

10 σχόλια:

  1. Ο Τζέρυ θα μπορούσε ίσως να κερδίσει, εφόσον αμέσως πριν από μια κίνησή του έβρισκε είτε έναν κουβά που είχε ήδη μέσα πάνω από 1 λίτρο νερό (οπότε θα πρόσθετε σ' αυτόν ακόμα 1 λίτρο και θα τον ξεχείλιζε) είτε δύο μη γειτονικούς κουβάδες που είχαν μέσα αθροιστικά πάνω από 1 λίτρο νερό (οπότε στην αμέσως επόμενη κίνησή του θα μοίραζε σε αυτούς ακόμα 1 λίτρο με τρόπο που να περιέχουν και οι δύο πάνω από 1 λίτρο και, δεδομένου ότι ο Τόμ θα μπορούσε αμέσως μετά να αδειάσει τον ένα μόνο από αυτούς, στην μεθεπόμενη κίνησή του ο Τζέρυ θα ξεχείλιζε τον άλλο).
    Για να εμποδίσει τα παραπάνω από το να συμβούν κάποτε και άρα για να κερδίσει ο ίδιος, ο Τομ πρέπει και αρκεί να φροντίζει μετά από κάθε του κίνηση, δηλαδή μετά από κάθε άδειασμα δύο γειτονικών κουβάδων, ανάμεσα στους τρεις το πολύ υπόλοιπους που θα περιέχουν νερό, οι δύο μη γειτονικοί να περιέχουν αθροιστικά το πολύ 1 λίτρο και ο μεσαίος μόνος του επίσης το πολύ 1 λίτρο. Για το σκοπό αυτό, αρκεί ο Τομ να ακολουθήσει την εξής στρατηγική (αριθμούμε τους κουβάδες ωρολογιακά από κ1 έως κ5):
    Στον πρώτο γύρο, όπως κι αν μοιράσει Τζέρυ το 1 λίτρο, ο Τομ αδειάζει τους κ4, κ5 και, μετά από αυτό, τόσο οι κ1+κ3, όσο και ο κ2 μόνος του δεν ξεπερνάνε το 1 λίτρο. Στην αμέσως επόμενη κίνησή του, ο Τζέρι μπορεί να μοιράσει το νέο 1 λίτρο με τρόπο που να πετυχαίνει το πολύ ένα από τα εξής δύο:
    α) κ1+κ4 > 1 λίτρο, οπότε αμέσως μετά ο Τομ αδειάζει τους κ1 και κ2 και μένουν με όχι πάνω από 1 λίτρο αθροιστικά οι μη γειτονικοί κ3+κ5 και ο μεσαίος κ4 επίσης.
    β) κ3+κ5 > 1 λίτρο, οπότε αμέσως μετά ο Τομ αδειάζει τους κ2 και κ3 και μένουν με όχι πάνω από 1 λίτρο αθροιστικά οι μη γειτονικοί κ1+κ4 και ο μεσαίος κ5 επίσης.
    Ο Τζέρυ είναι αδύνατο να καταφέρει και το α και το β, αφού τότε θα φτάναμε σε κ1+κ3+κ4+κ5 > 2 λίτρα ξεκινώντας με κ1+κ3 όχι πάνω από 1 λίτρο και με κ4+κ5 = 0 λίτρα, με προσθήκη 1 το πολύ λίτρου, άτοπο.
    Έτσι, με αυτή τη στρατηγική, ο Τομ είναι ασφαλής και για τον επόμενο και για κάθε επόμενο γύρο και ανακηρύσσεται νικητής😊.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ναι πραγματικά ο Τζέρυ δεν έχει καμία ελπίδα.Όπως και στο cartoon :):)

      Διαγραφή
  2. Το πρόβλημα προέρχεται από την προετοιμασία της Ολλανδικής μαθηματικής ολυμπιακής ομάδας, μια λύση με επαγωγή:
    https://app.box.com/s/lt8gt2854agqu2rc29b70x75gdr458m4

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Καλημέρα.Είμαι μαθητής της Β λυκείου και μου αρέσουν πολύ τα μαθηματικά και οι γρίφοι.Δεν κατάλαβα στην λύση αυτό που λέτε ότι η απόδειξη θα γίνει επαγωγικά.Τι σήμαινα αυτό; Που μπορώ να βρω σχετικές πληροφορίες;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κοίταξε στο σχολικό σου βιβλίο στα μαθηματικά κατεύθυνσης την παράγραφο 4.1.Αν τα καταφέρω θα ανεβάσω πως εφαρμόζεται η μέθοδος.

      Διαγραφή
  4. Μια προσθήκη μόνο στο αρχικό μου σχόλιο, που είχε παραλειφθεί ως ευκόλως εννοούμενη:
    Αν ο Τζέρυ δεν κάνει τίποτε από τα α ή β, τότε ο Τομ μπορεί να απαντήσει αδειάζοντας είτε τους κ1 και κ2 είτε τους κ2 και κ3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Να σημειώσω επίσης ότι και η διαδικασία που χρησιμοποίησα στα δικά μου σχόλια είναι επίσης επαγωγική στην ουσία της. Δείχνουμε ότι ο Τομ εφαρμόζοντας την περιγραφόμενη στρατηγική στον γύρο 1 δεν χάνει στον γύρο 2 και υποθέτοντας ότι την εφαρμόζει σε οποιονδήποτε γύρο δείχνουμε ότι δε χάνει ούτε στον αμέσως επόμενο γύρο. Άρα δεν χάνει ποτέ. Αυτό ακριβώς είναι η επαγωγή.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ναι Θανάση αυτό ακριβως είναι η μαθηματική επαγωγή άλλο που στην καθημερινότητα ως επαγωγή εννοούμε παρατηρώ την περίπτωση για να ανακαλύψω τον γενικό νομο

      Διαγραφή
  6. Ακριβώς ΘΑΝΑΣΗ, και θα πρόσθετα ότι η μαθηματική επαγωγή είναι η μόνη έγκυρη μορφή επαγωγής. Η απλή επαγωγή, η οποία χρησιμοποιείται όχι μόνο στην καθημερινότητα αλλά και στη φυσική επιστήμη (παρατηρούμε την επαναλαμβανόμενη εμφάνιση ενός φαινομένου υπό συγκεκριμένες συνθήκες και έτσι καταλήγουμε σε εικασίες που ονομάζουμε θεωρίες), συχνά διαψεύδονται και αντικαθίστανται από άλλες καλύτερες και πάει λέγοντας. Η διαψευσιμότητά τους μάλιστα, κατά μία φιλοσοφική άποψη (Πόπερ), είναι απαραίτητη προϋπόθεση προκειμένου να 'δικαιούνται' το status της επιστημονικής θεωρίας. Η μαθηματική επαγωγή όμως, όπως και κάθε άλλη έγκυρη αποδεικτική μεθοδολογία στα μαθηματικά, δεν είναι διαψεύσιμη και τα αποτελέσματά της είναι εγγυημένα στο διηνεκές (να γιατί λοιπόν ο Τομ δε χάνει ποτέ, ενώ ο πολύς Νεύτων έχασε, αφού ο Αϊνστάιν τού ξεχείλισε καναδυό κουβάδες 😊).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Μου ξέφυγαν λίγες λέξεις ("καταλήγει σε διαπιστώσεις' που συχνά διαψεύδονται..), αλλά ελπίζω ότι δεν χάθηκε το γενικό νόημα. Mea culpa, όπως και να 'χει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...