«Είναι κεφαλαιώδες λάθος να σχηματίζεις
θεωρίες προτού να έχεις όλα τα δεδομένα. Επηρεάζει την κρίση σου.»
Σπουδή στο κόκκινο,Σερ Άρθουρ Κοναν Ντοιλ
Έχετε
διαβάσει τα βιβλία του Ντόιλ με ήρωα τον αρχετυπικό ντετέκτιβ Σέρλοκ Χολμς;Ο
Χολμς πατάει σε ενδείξεις, στο κοφτερό του μάτι, στην οξυδερκή παρατήρηση και οδηγείται
σε μια θεωρία που εξηγεί πάντα με απόλυτη επιτυχία «ποιος το έκανε;».Ο ίδιος
εξομολογείται ότι εκτός από το βιολί,η επαγωγική παρατήρηση είναι ευχαρίστηση
του.Η επαγωγή σαν μέθοδος στις επιστήμες είναι ακριβώς αυτό:Η ανακάλυψη γενικών νόμων μέσω της παρατήρησης και
του συνδυασμού ειδικών περιπτώσεων(παραδειγμάτων).Από την άλλη στα
μαθηματικά,η επαγωγή είναι κάτι εντελώς άλλο.Μια στέρεη μαθηματική αποδεικτική
μέθοδος.Μπορεί η ονομασία να είναι κοινή άλλα πρακτικά δεν έχουν μεγάλη σχέση.Όταν όμως χρησιμοποιηθούν συνδυαστικά
έχουμε αξιοθαύμαστα αποτελέσματα.
Ένα παράδειγμα, που ελπίζω ότι θα κάνει φραγκοδίφραγκα την
διαφορά ανάμεσα στην επαγωγή και την μαθηματική επαγωγή.
Επαγωγή
Δίνεται
1=1
1+8=9
1+8+27=36
Τι παρατηρείτε;
Προφανώς τα δυο παραπάνω γράφονται
13=12
13+23=32
13+23+33=62
Το άθροισμα των παραπάνω διαδοχικών κύβων είναι
τέλειο τετράγωνο. Το μοτίβο συνεχίζεται;
Βρίσκουμε μερικά ακόμα.
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
13+23+33+43+53=152
13+23+33+43+53+63=212
Μια ισχυρή
ένδειξη ότι κάτι έχουμε εδώ .Οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι πιθανότατα να
ισχύει
13+23+33+43+……+ ν3=
κ2
Φυσικά δεν
έχουμε αποδείξει τίποτα, ξέρουμε από τα παραπάνω ότι ισχύει για ν=1,2,3,4.Ο Σέρλοκ Χολμς θα είχε ήδη ισχυριστεί ότι ισχύει
,αυτός όμως είχε τον σεναριογράφο με το μέρος του, ένας αστρονόμος σε μια
ανάλογη περίπτωση έτσι και διαπίστωνε μια ιδιότητα για τα αστέρια ενός γαλαξία
θα κοίταζε να επιβεβαιώσει την πεποίθηση του βρίσκοντας ολοένα και περισσότερα παραδείγματα
και θα τα ταξινομούσε.
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
13+23+33+43+53=152
13+23+33+43+53+63=212
13+23+33+43+53+63+73=282
13+23+33+43+53+63+73+83=362
Καλά μέχρι
εδώ, υπάρχει συγκεκριμένο μοτίβο στις
βάσεις των δυνάμεων και στην βάση του
τετραγώνου .Δείτε
13=12 13=12
13+23=32
13+23=(1+2)2
13+23+33=62
13+23+33=(1+2+3)2
13+23+33+43=102 13+23+33+43=(1+2+3+4)2
13+23+33+43+53=152 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2
13+23+33+43+53+63=212 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2
13+23+33+43+53+63+73=282 13+23+33+43+53+63+73=(1+2+3+4+5+6+7)2
13+23+33+43+53+63+73+83=362 13+23+33+43+53+63+73+83=(1+2+3+4+5+6+7)2
Κατόπιν
αυτού μάλλον είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε την εικασία .Προσέξτε ακόμα δεν
έχουμε απόδειξη. Βλέπετε, οι αποδείξεις έχουν την κακιά συνήθεια να ανθίστανται
σθεναρά στην θωπεία των παραδειγμάτων.
Έχουμε λοιπόν:
Για
κάθε φυσικό ν μεγαλύτερο ή ίσο του 1 ισχύει:
13+23+33+43+……+
ν3=(1+2+3+4+….ν)2
Εδώ σταματάει
η επαγωγή,παρατηρήσαμε ή αναγνωρίσαμε ένα υποτιθέμενο μοτίβο και το
γενικεύσαμε.Ο Χολμς σε αυτό το σημείο θα ανακοίνωνε στην ομήγυρη με βεβαιότητα
ποιος στο έκανε. Η επαγωγή κατ επέκταση είναι ατελής-στερείται αποδείξεων- και
ίσως λίγο μονοκόμματη μέθοδος εξαγωγής συμπερασμάτων. Εδώ που τα λέμε μυρίζει
λίγο σοφιστεία.
Μαθηματική επαγωγή.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ατελείωτη (άπειρη;) σειρά από κοψοχέρηδες ψηφοφόρους του κόμματος Χ. Όλοι έχουν την αδήριτη ανάγκη να τιμωρηθούν. Στέκονται στην σειρά από τον πρώτο μέχρι τον....νιοστό. Απέχουν όλοι τους μια απόσταση λίγων εκατοστών. Συμβαίνει το εξής: Ο πρώτος χαστουκίζει τον δεύτερο και εξασφαλίζουμε ότι για καθένα από αυτούς έστω ο κ θα χαστούκιζε τον επόμενο κ+1. Αυτές οι δυο προϋποθέσεις μας εξασφαλίζουν ότι όλοι θα φάνε το χαστούκι τους εκτός φυσικά από τον πρώτο.( θα τον τιμωρήσει η ζωή αυτόν).Δείτε την αναλογία.
Αν
έχουμε ένα μαθηματικό ισχυρισμό P(ν)
ο οποίος:
● ισχύει για ν=1 δηλαδή ο P(1) είναι αληθής,
●
Αν ισχύει για τυχαίο ν
θα ισχύει για ν+1 τότε θα ισχύει για κάθε
ν (δηλαδή αν η αλήθεια του P(ν) συνεπάγεται την αλήθεια του P(ν
+1) για κάθε ν).
Τότε ο ισχυρισμός P(ν) αληθεύει για
όλους τους θετικούς ακεραίους ν.
Δηλαδή
Έστω ο
ισχυρισμός
1+2+3+4+…+ν= ν(ν+1)/2 για
κάθε ν μεγαλύτερο ίσο του 1
Για
ν=1 :
1=1(1+1)/2 ισχύει
Έστω ότι
ισχύει για ν=κ : 1+2+3+4+…+κ= κ(κ+1)/2 (1)
Θα
δείξουμε ότι ισχύει για ν=κ+1: 1+2+3+4+…+κ+(κ+1)= (κ+1)(κ+2)/2 (2)
Προσθέτουμε
στα δυο μελη της (1) που γνωρίζουμε ότι
ισχύει, τον όρο κ+1
1+2+3+4+…+κ+(κ+1)=
κ(κ+1)/2 +κ+1 ή
1+2+3+4+…+κ+(κ+1)=
κ(κ+1)/2 +2(κ+1)/2 ή
1+2+3+4+…+κ+(κ+1)=
(κ(κ+1) +2(κ+1))/2 ή
1+2+3+4+…+κ+(κ+1)=
(κ+1)(κ+2)/2 που είναι η (2) συνεπώς αποδείχτηκε
Επανερχόμαστε στο αρχικό πρόβλημα. Πρέπει να δείξουμε ότι
Για
κάθε φυσικό ν μεγαλύτερο ή ίσο του 1 ισχύει:
13+23+33+43+……+
ν3=(1+2+3+4+….ν)3
Ή
Για
κάθε φυσικό ν μεγαλύτερο ή ίσο του 1 ισχύει:
13+23+33+43+……+
ν3=( ν(ν+1)/2 )2
Πάλι την ίδια μέθοδο
της τέλειας επαγωγής
θα χρησιμοποιήσουμε
Για ν=1 : 13
=( 1(1+1)/2)2 ισχύει
Έστω ότι
ισχύει για ν=κ : 13+23+33+43+……+
κ3=(
κ(κ+1)/2)2 (1)
Θα
δείξουμε ότι ισχύει για ν=κ+1: 13+23+33+43+……+
κ3+ (κ+1)3=((κ+1)(κ+2)/2)2 (2)
Προσθέτουμε
στα δυο μέλη της
(1) που γνωρίζουμε ότι ισχύει το
όρο (κ+1)3
13+23+33+43+……+
κ3+(κ+1)3=( κ(κ+1)/2)2 +(κ+1)3 ή
13+23+33+43+……+
κ3+(κ+1)3=(κ+1)2 ( (κ/2)2 + κ+1) ή
13+23+33+43+……+
κ3+(κ+1)3=(κ+1)2 ( κ2/4 + κ+1) ή
13+23+33+43+……+
κ3+(κ+1)3=(κ+1)2 ( κ2+ 4κ+4) /4 ή
13+23+33+43+……+
κ3+(κ+1)3=(κ+1)2( κ+ 2)2 /4 που είναι η (2) ,συνεπώς αποδείχτηκε.
Βέβαια για να πούμε την αλήθεια για την προηγούμενη πρόταση προτιμώ την πιο glamorous «απόδειξη» που την πήρε το μάτι μου σε μια γνωστή ομάδα στο fb.
[
Άλλο ένα παράδειγμα από την γεωμετρία:
Να δείξετε ότι το πλήθος των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου
με πλευρές ν>=3 δίνεται από τύπο δν=
ν(ν-3)/2
-Για ν=3: δ3=
3(3-3)=0 που ισχύει το τρίγωνο έχει 0 διαγωνίους.
-Υποθέτουμε ότι ισχύει για ν=κ : δκ= κ(κ-3)/2
-Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν=κ+1 : δκ+1= (κ+1)(κ-2)/2
Έστω ότι έχουμε ένα πολύγωνο με κ πλευρές του αυτό έχει δκ= κ(κ-3)/2 διαγώνιους
Ένα πολύγωνο με κ+1 πλευρές έχει όλες τις διαγώνιους του κ-γωνου συν επιπλέον
τις διαγώνιους τις κορυφής Ακ+1 που είναι
κ+1-3=κ-2 συν την πλευρά ΑκΑ1 που γίνεται διαγώνιος.Έτσι:
δκ+1= δκ +κ-2 +1= κ(κ-3)/2+κ-1= (κ(κ-3) +2(κ-1))/2=(κ2-3κ
+2κ-2)/2=(κ2-κ-2)/2=(κ+1)(κ-2)/2
που είναι το ζητούμενο.
Περισσοτερα προβλήματα του ιδίου φυράματος
Σχετικό διαγωνιστικό προβληματάκι απο παλιό tournament of towns
Ο Αλί
Μπαμπά και οι 40 κλέφτες του βρίσκονται υπό καταδίωξη από τον Σεΐχη
Αλτρεισλαλουκαιδυοχορευουν.Θέλουν να περάσουν ένα ποτάμι, γνωρίζουν ότι δεν
είναι δυνατό να το διαβούν κολυμπώντας. Έχουν στην διάθεση τους μόνο μια βάρκα
που για να κυβερνηθεί απαιτούνται δυο άτομα και χωράει δυο ή τρία άτομα
που πρέπει να είναι φίλοι. Ο Αλί μπαμπά σχηματίζει μαζί με τους 40 κλέφτες του
μια γραμμή όπου κάθε ζεύγος διαδοχικών κλεφτών είναι φίλοι.Ο Αλί μπαμπά
είναι πρώτος στην σειρά και κατ’ εξαίρεση είναι φίλος και με το γείτονα
του γείτονα του.Με τις παραπάνω προϋποθέσεις είναι δυνατό ο Αλί Μπαμπά
και οι 40 κλέφτες του να διαβούν το ποτάμι;
Λύση
Από μαθήματα προετοιμασίας για μαθηματική Ολυμπιάδα
Σε
ένα κύκλο έχουν τοποθετηθεί ωρολογιακά πέντε κουβάδες χωρητικότητας
δυο λίτρων.Ο Τομ και ο Τζέρυ παίζουν ένα παιχνίδι σε διαδοχικούς γύρους.Πρώτος
παίζει ο Τζέρυ,παίρνει ένα λίτρο νερό από το διπλανό ποτάμι- με ένα δικό
του δοχείο- και το μοιράζει αυθαίρετα στους πέντε κουβάδες.Τότε ο Τομ
επιλέγει δυο γειτονικούς κουβάδες τους αδειάζει στο ποτάμι και τους βάζει
στην θέση τους.Το ίδιο γίνεται σε κάθε γύρο.Σκοπός του Τζέρυ είναι να
ξεχειλίσει τουλάχιστον έναν από τους πέντε κουβάδες.Ο Τομ θέλει να το
αποτρέψει.
Υπάρχει
στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δυο;
Περισσότερες πληροφορίες
1.Αλγεβρικά θέματα,Μαραγκάκης Μ.
2.Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός,Τ.Apostol
3.Πως να το λύσω,G. Polya
4.Σπουδή στο κόκκινο,Σερ Άρθουρ Κοναν Ντοιλ
Επειδή μάλλον σας κούρασα με πράγματα που δεν έχουν καμία απολύτως σχέση με εξετάσεις δωράκι μια συναυλία απο τους 2cellos.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου