«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Δευτέρα, 27 Αυγούστου 2018

Ένας παράδοξος πύργος από τραπουλόχαρτα,μια σειρά που αποκλίνει βραδέως και ένα ταξίδι από την Αθήνα...στο Αγρίνιο.





“Oι άνθρωποι με θεωρούν παράξενο.Αλλά δεν είναι έτσι.Έχω την καρδιά ενός μικρού παιδιού.Είναι σ’ένα βάζο,πάνω στο γραφείο μου.”

                 

                                                                      Στήβεν Κινγκ, 1947-..

 
  Προβληματάκι μεταμφιεσμένο σε παράδοξο γιατί ως αποτέλεσμα έρχεται κόντρα στην  διαίσθηση,μια διαίσθηση που πολύ συχνά εκλαμβάνουμε ως κοινή λογική.Αφορμή για την ανάρτηση η κάτωθι φωτογραφία με την τράπουλα.
 Η εκφώνηση:

   Έστω μια κοινή τράπουλα με 52 φύλλα,στοιβάζουμε τα φύλλα της κατά τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε διαδοχικό ζεύγος τραπουλόχαρτων το άνω φύλλο να προεξέχει σε σχέση με το κάτω.Η στοίβα πρέπει να βρίσκεται πάντα σε κατάσταση ισορροπίας,δηλαδή τα τραπουλόχαρτα να "αιωρούνται"και να μην "πέφτουν" .(σχήμα)
Ποιο είναι το μέγιστο μήκος (σε τραπουλόχαρτα) που μπορεί να προεξέχει το πάνω-πάνω φύλο σε σχέση με το φύλλο βάσης(το κάτω-κάτω);



 Το αρχικό πρόβλημα δεν αφορά τραπουλόχαρτα αλλά τούβλα και έτσι θα το χειριστούμε γιατί είναι πιο εύκολα  τα σχήματα:) :) με την παλέτα του Word.Επίσης, θα αποφύγω κάθε αναφορά σε κέντρα μάζας, γιατί με την φυσική δεν έχω και πολλά-πολλά.

  Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο από 51 τούβλα.Όλα είναι πανομοιότυπα ως προς τις διαστάσεις, το  σχήμα,την πυκνότητα,το βάρος.Χωρίς βλάβη της γενικότητας και για ευκολία στις πράξεις θεωρούμε οτι έχουν διαστάσεις 1xαxβ  cm.


Αντικειμενικός μας στόχος είναι να τα στοιβάξουμε-χωρίς να πέσουν- το ένα πάνω στο άλλο πάνω σε ένα μαρμάρινο τραπέζι κατά τέτοιο τρόπο ώστε η απόσταση  S  του  πιο ψηλού τούβλου A από την άκρη Β του τραπεζιού να είναι όσο το δυνατό μεγαλύτερη.Τα τούβλα πρέπει να βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας.   

 

 Ας το πάμε σιγά σιγά.Αρχίζουμε με ένα τούβλο.Το ερώτημα είναι πότε ισορροπεί τα ένα τούβλο; Πόσο μπορούμε να το τραβήξουμε έξω από την ακμή του  τραπέζιου χωρίς να πέσει ;Δείτε το σχήμα , αρκεί να τοποθετήσουμε το τούβλο στην άκρη του τραπεζιού ακριβώς πριν πέσει,έστω x cm από το τραπέζι.Εκεί φέρνουμε μια διακεκομμένη γραμμή. (σχήμα 1).Το τούβλο ισορροπεί όταν ο όγκος του τούβλου αριστερά της γραμμής  V1
ισούται με τον όγκο του τούβλου δεξιά της γραμμής V2.Με ολίγη από άλγεβρα υπολογίζουμε το χ.



Ας το προχωρήσουμε για δυο τούβλα ,πάντα με την παραδοχή ότι ο όγκος των
τούβλων (V1) αριστερά της διαχωριστικής γραμμής είναι ίσο με τον όγκο των τούβλων
δεξιά της (V2).





Τρία τούβλα




Ομοίως αποδεικνύεται:



  Άρα για 51 τούβλα (τραπουλόχαρτα) το πάνω-πάνω τούβλο προεξέχει από το τραπέζι (πρώτο τραπουλόχαρτο) κατά:

                   (1/2)(1+1/2+1/3+1/4+…….+1/51) περίπου 2,26 τούβλα (τραπουλόχαρτα)      

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F(2n),+n%3D1+to+51


Γενικά, για ν τούβλα ισχύει το συνολικό μήκος προεξοχής είναι :

                                        S=(1/2)(1+1/2+1/3+1/4+…….+1/ν)



Το αστείο είναι ότι η σειρά   1/2+1/4+1/6+……. αποκλίνει,πολύ αργά αλλά αποκλίνει,αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε μια πολύ-πολύ μεγάλη (!!) τράπουλα μπορούμε να καλύψουμε με μια αλυσίδα διαδοχικών προεξεχομενων τραπουλόχαρτων την απόσταση από την Αθήνα στο.... Αγρίνιο.

 Διαβάστε και μια δημοσίευση  που επεκτείνει την ιδέα και σε διαφορετικούς σχηματισμούς τούβλων:
https://arxiv.org/pdf/0710.2357.pdf 

Ένα σχετικό βίντεο: 
                                     

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...